Condiciones para las equivalencias de conjuntos

Question

Necesito probar: $$ \bigcup \left \{ P(X)|X\in A \right \} = P(\bigcup A) \Leftrightarrow \exists x\in A(\forall y\in A( y\subseteq x))$$ Sé cómo pasar del lado derecho al izquierdo. Necesito ayuda con la otra manera alrededor.

Answer 1

Observe que $\cup A\in\wp(\cup A)$ de modo que basándonos en el LHS podemos concluir: $$\cup A\in \cup\{\wp(x)\mid x\in A\}$$

Eso significa que $\cup A\in\wp(x)$ o equivalentemente $\cup A\subseteq x$ para algunos $x\in A$ .

Entonces para cada $y\in A$ encontramos $y\subseteq\cup A\subseteq x$ .