"Movimiento browniano" sin suponer la continuidad de la trayectoria en el origen del espacio de estados

Question

Esta pregunta se inspira en parte en esta otra Cualquier referencia sobre la continuidad del movimiento browniano . En este post, el autor preguntaba si los tres axiomas siguientes pueden definir un movimiento browniano sin asumir el axioma de continuidad

" 4 . $W(t)$ es continua con probabilidad uno, es decir $\lim _{h\rightarrow 0}P(|W(t+h)-W(t)|>\epsilon )=0,\forall \epsilon>0, t\in S$ " Asumiendo esto, el movimiento browniano es un caso especial del proceso de Levy.

1. $W(0) = 0$ .
2. Para todos $0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4$ , $W(t_2) - W(t_1)$ y $W(t_4) - W(t_3)$ a independientes.
3. Para todos $0 \le t_1 \le t_2$ , $W(t_2) - W(t_1)$ i se distribuye normalmente con media 0 y varianza $\sigma^2\,(t_2 - t_1)$ .

OP

De hecho, [Karlin&Taylor] definieron el movimiento browniano como un proceso estocástico que satisface los axiomas 1,2,3 con una estipulación adicional

" 4* . $W(t)$ es continua en $t=0$ "

Y derivaron la continuidad de la trayectoria browniana como resultado utilizando el Teorema de representación de Karhunen-Loève en la Sec 7.4. Una posible pista relevante es que siempre requerimos la función característica $E(e^{Xt})$ ser continua alrededor del origen para determinar una variable aleatoria en la distribución mediante funciones características. ¿Así que supongo que el axioma 4* es una garantía de que existe alguna transformada?

Mi pregunta es : Si sólo asumimos el axioma 1,2,3 sobre un proceso estocástico como el anterior, ¿podemos construir un proceso estocástico $W(t)$ que no sea un movimiento browniano (que se define como un proceso estocástico con el axioma 1,2,3,4 satisfecho O el axioma 1,2,3,4* satisfecho en [Karlin&Taylor])? O Alternativamente, ¿es redundante el axioma de continuidad? (No lo creo, pero no parece muy claro cómo puedo construir un contraejemplo para ilustrar el punto).

Después de ver la respuesta de @Bjørn Kjos-Hanssen, me pareció más apropiado preguntar si existe un proceso estocástico que no sea càdlàg y satisfaga los axiomas 1,2,3.

[Karlin&Taylor]Karlin, S., y H. M. Taylor. "A first course in stochastic processes" Academic Press. Nueva York (1975).

Answer 1

Sí. $W$ es un movimiento browniano y $V$ sea la siguiente modificación: $V_t=W_t$ excepto que elegimos un número $s\in [0,1]$ según la distribución uniforme, independientemente de $W$ y que $V_s=0$ .

Entonces se cumplen 1,2,3 pero la trayectoria muestral de $V$ est casi seguro discontinuo (en $s$ ).

Para obtener una discontinuidad casi segura a 0 Utilice $s_1,s_2,\dots$ en el intervalo unitario, todos $s_i$ independientes entre sí y de $W$ con digamos $$V_{s_i}=1\ne 0$$ para todos $i$ . Tenga en cuenta que $S=\{s_i:i\ge 1\}$ es casi seguramente denso en el intervalo unitario, pero $S$ es aleatorio con respecto a $W$ por lo que será disjunta de cualquier conjunto contable de $t$ se considera "por adelantado".

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Fondo : $W$ será uniformemente continua en los racionales por los axiomas 1, 2, 3. Pero sin el axioma 4, la cuestión de si los caminos son continuos casi no tiene sentido -- el conjunto $$\{f:f \text { is continuous}\} $$ no se puede medir. Así que esto se resuelve redefiniendo $W$ sea la única extensión continua de los valores de $W$ en los racionales.