En $M$ es un compacto $2$ -con o sin límites, $P(M)$ es conocido. Cuando $M$ es un 3-manifold hay trozos conocidos, especialmente una vez que se llega a detalles más finos como los espacios de incrustación pseudo-isotopía. Pero a nivel de $P(M)$ No creo que haya una descripción completa para un solo $3$ -manifold. Para $4$ -manifolds la situación es peor, pero de nuevo hay algunas cosas conocidas para los espacios de incrustación de pseudo-isotopía.
Como usted menciona, $P(S^2)$ y $P(D^2)$ son contractibles por la Conjetura de Smale. Creo que $P(M)$ es contractible para un $2$ -manifold. El argumento es el siguiente: Se mira el haz de fibras localmente trivial $P(M) \to Diff(M)$ . La fibra sobre el mapa de identidad es $Diff(M \times I)$ el grupo de los difeomorfismos que fijan toda la frontera $\partial M \times I \cup M \times \partial I$ . Las otras fibras están vacías porque los difeomorfismos están prescritos hasta la isotopía por su acción sobre $\pi_1 M$ . Excepto en algunos casos, $Diff(M)$ tiene componentes contráctiles, por lo que mostrar $P(M)$ es contractible equivale a demostrar $Diff(M \times I)$ es contraíble. Pero $M \times I$ tiene en él anillos incompresibles, correspondientes a $C \times I$ donde $C \subset M$ es una curva cerrada en $M$ que no vincula un disco en $M$ . El trabajo de Hatcher sobre espacios de superficies incompresibles entra en acción y te dice que el espacio de estos anillos incompresibles es contractible. Así que se puede reducir el estudio $Diff(M \times I)$ a cosas como $Diff(A \times I)$ donde $A$ es un anillo o un pantalón, pero entonces tienes discos verticales incompresibles que puedes usar y reducir hasta el punto de que $A$ es a su vez un disco.
El argumento anterior funciona para cualquier superficie que no sea $\mathbb RP^2$ un toroide o una botella Klein. Pero argumentos similares cubren estos casos.
Aquí está la referencia de los resultados de Hatcher que estoy utilizando, también define la terminología como "anillo incompresible, disco" y así sucesivamente. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Papers/emb.pdf
Allen tuvo un alumno (Kiralis) que escribió algunos artículos sobre los difeomorfismos pseudoisotópicos de los 3-manifolds. Podría ser un lugar donde buscar.
Pero el tipo de cosas que recuerdo son sobre todo en la línea de pseudo-isotopía incrustaciones de nudos y enlaces en $D^3$ y $S^3$ . Estoy a punto de coger un avión. Editaré esta respuesta en algún momento de los próximos días y añadiré algunas de estas observaciones si no las ha hecho ya otra persona.
edit 1: Aquí hay dos observaciones no relacionadas.
(a) Sea $N$ sea un toro sólido de co-dimensión cero en $M=\mathbb R^3$ o $M=S^3$ . Existe la fibración de incrustación pseudo-isotópica $P(N,M) \to Emb(N,M)$ . Si $N$ es un toro sólido sin nudos, la cuestión de cuál es el mapa la imagen del mapa $\pi_0 P(N,M) \to \pi_0 Emb(N,M)$ es, este es un problema difícil de larga data en la teoría de nudos. Otra forma de decirlo es `qué nudos en $S^3$ un disco en $D^4$ ?'. Estos nudos se denominan nudos cortados. Ralph Fox tiene la Conjetura de la cinta de corte que podría describirse como una esperanzadora respuesta combinatoria a la pregunta. Existen muchas herramientas útiles para determinar si un nudo dado es o no una tajada, empezando por el módulo de Alexander y, más recientemente, herramientas de la teoría de Heegaard Floer.
Dos ejemplos:
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Observa la clase de nudos que son una suma de nudos toroidales. Utilizando el módulo de Alexander, Litherland demostró que un nudo de este tipo limita un disco en $D^4$ si, y sólo si, en la descomposición en primos, el número de veces que aparece un sumando primo (como, por ejemplo, un trébol diestro) es igual al número de veces que aparece su imagen especular (el trébol zurdo, en mi ejemplo). Hilo anterior de MO relacionado
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Paolo Lisca ha utilizado la teoría de Heegaard Floer para determinar cuándo una suma de conexión de nudos de 2 puentes en $S^3$ limita un disco en $D^4$ REF pero en este caso la respuesta es más elaborada.
(b) Al igual que los grupos de difeomorfismo $Diff(D^n)$ y los espacios de nudos largos tienen acciones de operadas de cubos, los espacios de incrustación de pseudoisotopía y los grupos de difeomorfismo también tienen tales acciones. Estoy bastante seguro de que también hay una operada de empalme de pseudoisotopía, pero no he escrito los detalles.
edición 2: Rick Litherland generalizó un resultado de Zeeman ( Deformación de nudos hilados por torsión TAMS 250 (1979) 311--331) mostrando que los "nudos hilados-deformados" tienen complementos que frecuentemente fibran sobre $S^1$ . Este proceso llamado "Deform spinning" no es más que el mapa límite en la secuencia de fibras de pseudoisotopía para espacios de nudos. Una de las cosas buenas de esto es que Litherland da una prescripción de lo que es la fibra. En el caso de la secuencia de pseudoisotopía para nudos largos en $\mathbb R^3$ genera incrustaciones largas de $\mathbb R^2$ en $\mathbb R^4$ . Así que la fibra es un 3-manifold con límite una esfera. Este proceso produjo algunas incrustaciones de 3-manifolds en la 4-esfera que nadie había conocido en el momento, como el espacio dodecaédrico de Poincare una vez perforado (que sin una punción no se incrusta en $\mathbb R^4$ (al menos, no suavemente, admite una incrustación topológica suave). Me interesé por este caso en gran medida porque representa una especie de extremo del terreno de su disertación.
edit 3: Olvidé mencionar, que seguí insistiendo tratando de entender por qué su disertación se rompió en co-dimensión dos. En cierto sentido, mi artículo "An obstruction to a knot being deform-spun via Alexander polynomials" es una respuesta. En cierto modo no lo es, ya que la deformación-hilatura en co-dimensión dos es más una construcción de espacio de bucle libre que una construcción de espacio de bucle basado. Pero el ejercicio me pareció instructivo.
