Supongamos que $n$ las líneas se dibujan en un plano de tal manera que ninguna línea es paralela ni tres de ellas se crucen en un punto. Sea $r(n)$ sea el número de regiones que el plano después de dibujar el $n$ líneas. Encuentra una fórmula recursiva y demuéstrala sin inducción.
He descubierto que la fórmula $r(n)=r(n-1) + n$ funciona pero tengo problemas para probarlo.
Suponga que tiene $n$ líneas y $r(n)$ regiones, y añades una línea que no es paralela a ninguna de las actuales $n$ y no pasa por ningún punto de intersección de dos de ellas. La nueva línea debe intersecar cada una de las $n$ líneas originales en un único punto; ¿por qué? Supongamos que las interseca en los puntos $p_1,\ldots,p_n$ en ese orden. Estos $n$ puntos dividen la nueva línea en $n+1$ secciones: la $n-1$ secciones delimitadas $\overline{p_1p_2},\overline{p_2p_3},\ldots,\overline{p_{n-1}p_n}$ y los rayos ilimitados "antes $p_1$ y "después $p_n$ . Cada una de estas secciones divide una región en dos regiones, por lo que cada una de ellas añade una región al total. Por lo tanto, $r(n+1)=r(n)+\ldots\;$ ?
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