Función que crece más rápido que cualquier función de un conjunto dado (quizás infinito).

Question

Estoy estudiando por mi cuenta topología de conjuntos de puntos con MAT327 de la Universidad de Toronto. En el tema de la contabilidad (capítulo 4), se me pide: "dado un conjunto fijo de funciones $f_n:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ , $n\in\mathbb{N}$ construir una función $g: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ que crece más rápido que todos $f_n$ "

esto es: $\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{g(k)}{f_n(k)}= \infty$

En el curso se supone que $0\not\in\mathbb{N}$ . Si el conjunto de funciones $f_n$ eran finitos $g(k)=\Pi_nf(k)^{f(k)}$ sería una solución, pero no estoy seguro de poder utilizar este truco para un conjunto infinito de funciones.

¿Cómo puedo construir una función que crezca más rápido que un conjunto dado (infinito) de funciones?

Answer 1

Su $g(k)=\prod_{n} f_n(k)^{f_n(k)}$ no funciona necesariamente ni siquiera en el caso finito. Por ejemplo, cuando todos los $f_n$ son constantes, entonces también lo es $g$ .

Lo que funciona tanto para el caso finito como para el infinito es

$$g(k)=k\cdot\max_{j\leq k}\{f_j(k)\}$$

En efecto, para cualquier $n$ tenemos

$$\lim_{k\to\infty}\frac{g(k)}{f_n(k)}=\lim_{k\to\infty}\frac{k\cdot\max_{j\leq k}\{f_j(k)\}}{f_n(k)}$$

Ahora dado $k\geq n$ tenemos $$\frac{k\cdot\max_{j\leq k}\{f_j(k)\}}{f_n(k)}\geq\frac{k\cdot f_n(k)}{f_n(k)}=k\to\infty$$