Ejemplo de secuencia con subsecuencia convergente

Question

Tenemos que en un conjunto compacto, toda secuencia tiene una subsecuencia convergente. ¿Puede alguien dar un contraejemplo cuando eliminamos la cerrazón?

Gracias de antemano.

Answer 1

$X = (0,1)$ no está cerrado. La secuencia $1/2, 1/3, 1/4, \ldots$ no tiene una subsecuencia que converja a un límite en $X$ .

Answer 2

Considere $X=(0,1)$ y $a_n = \frac{1}{n}$ para $n \ge 2$ . Esa secuencia no converge en $X$ y también se puede demostrar que no tiene subsecuencias convergentes.