Relación entre conjunto convexo y función convexa

Question

Sea $E$ sea un espacio vectorial normado y $A\subset E$ sea un conjunto cerrado no vacío. Definir $$\phi(x)=\operatorname{dist}(x,A)=\inf_{a\in A}\|x-a\|$$ Demostrar que si $\phi$ es convexa, entonces $A$ es convexa.

Definición de conjunto convexo: Diremos $A$ es convexa si para e muy $x,y\in A$ y $\lambda \in [0,1]$ tenemos $\lambda x+(1-\lambda)y\in A$

Definición de función convexa: Diremos que $\phi$ es convexa si para cada $x,y\in A$ y $\lambda\in[0,1]$ tenemos $\phi(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda\phi(x)+(1-\lambda)\phi(y)$ .

Answer 1

Si para cada subconjunto $B$ de $E$ definimos $\rho_B: E\to [0, \infty)$ dada por $\rho_B(x)=\mathrm{dist}(x, B)= \inf\limits_{y\in B} \Vert x-y\Vert$ entonces es fácil ver que $\rho_B(x)=0$ sólo si $x\in \bar{B}$ donde $\bar{B}$ denota el cierre del conjunto $B$ . En caso de que $B$ está cerrado, $\rho_B(x)=0$ sólo si $x\in B$ . Supongamos que $\phi$ es la indicada anteriormente y $x, y\in A$ y $0<\lambda<1$ . Entonces, por definición, $$0\leq \phi(\lambda x+ (1-\lambda)y)\leq \lambda\phi(x)+ (1-\lambda)\phi(y)$$ Desde $x, y\in A$ entonces $\phi(x)=\phi(y)=0$ . Esto implica que $\phi(\lambda x+ (1-\lambda)y)=0$ . Desde $A$ está cerrado, esto sólo ocurre si $\lambda x+ (1-\lambda)y\in A$ . Por lo tanto $A$ es convexo