$X \subset \mathbb{R}^m$ . Sea $\phi:x \to \mathbb{R}^n$ estar acotada. $\phi$ es continua $\iff$ su gráfico es cerrado.

Question

$X \subset \mathbb{R}^m$ . Sea $\phi:x \to \mathbb{R}^n$ estar acotado. Entonces $\phi$ es continua $\iff$ su gráfico es cerrado.

Me pidieron que lo demostrara, pero creo que es falso.

Sea $Gra(\phi) = \{(x, \phi(x))|x \in X\}$ el Gráfico de $\phi$ .

Supongamos que X no es cerrado. Entonces existe $a \in \bar{X}-{X}$ (siendo $\bar{X}$ el cierre de X).

Por lo tanto, existe $x_n \in X$ s.t. $x_n \to a$ . La secuencia $\phi(x_n)$ tiene una subsecuencia convergente $\phi(x_{k_n})$ ya que está acotado. Sea $\lim \phi(x_{k_n})=b$

Entonces $(a,b) \in \overline{Gra(\phi)}$ (el cierre de $Gra(\phi)$ ) pero $(a,b)\not \in Gra(\phi) \implies Gra(\phi)$ no está cerrado.

¿Es correcto?

Answer 1

Por supuesto, cuando $X$ no está cerrado en $\mathbb{R}^m$ el gráfico no se puede cerrar. En adelante supondremos que $X$ está cerrado.

Sea $\mathcal{C}(X)$ denotan el conjunto de secuencias convergentes $\mathbf{x}=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset X$ . Para cualquier secuencia de este tipo denotaremos su límite por $x$ . Observe que $x\in X$ por la suposición de que $X$ está cerrado.

Por un lado, tenemos:

\begin{align} \phi \text{ is continuous}&\iff \phi \text{ is sequentially continuous}\\ &\iff \forall \mathbf{x}\in\mathcal{C}(X), \,\phi(x)=\lim_{n\to\infty}\phi(x_n)\tag{1}\end{align}

Por otro, tenemos

\begin{align} Gra(\phi) \text{ is closed}&\iff Gra(\phi) \text{ is sequentially closed}\\ &\iff \forall \text{ convergent } \big(x_n,\phi(x_n)\big),\, \lim_{n\to\infty}\big(x_n,\phi(x_n)\big) \in Gra(\phi)\tag{2} \end{align}

Es evidente que $(1)\implies (2)$ . En efecto, si $\big(x_n,\phi(x_n)\big)$ es convergente, entonces $\mathbf{x}=(x_n)$ es convergente y, por tanto, por $(1)$ también lo es $\big(\phi(x_n)\big)$ , con $\lim_{n\to\infty}\phi(x_n)=\phi(x)$ . Por lo tanto,

$$\lim_{n\to\infty}\big(x_n,\phi(x_n)\big)=\big(x,\phi(x)\big),$$

que pertenece a $Gra(\phi)$ por definición.

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Demostraremos que cuando $\phi$ está limitada, $(2)\implies(1)$ que concluye la prueba.

Supongamos que $\phi$ está acotada y $\mathbf{x}\in\mathcal{C}(X)$ . Desde $\phi$ está acotada y $(x_n)$ es convergente (y por tanto acotada), tenemos que $\big(\phi(x_n)\big)$ es una secuencia acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsecuencia convergente $\big(\phi(x_{n_k})\big)$ de $\big(\phi(x_n)\big)$ .

Por supuesto, $(x_{n_k})$ es convergente y converge a $x$ el mismo límite de $(x_n)$ . De ello se deduce que $\big(x_{n_k},\phi(x_{n_k})\big)$ es convergente, y por $(2)$ tenemos que $\lim_{k\to\infty}\big(x_{n_k},\phi(x_{n_k})\big)=\big(x,\phi(x)\big)$ . En particular, $\lim_{k\to\infty}\phi(x_{n_k})=\phi(x)$ .

Entonces basta con demostrar que $\big(\phi(x_n)\big)$ es convergente; en este caso, su límite debe coincidir con el de $\big(x_{n_k},\phi(x_{n_k})\big)$ es decir, debe ser igual a $\phi(x)$ . Lo demostramos por contradicción.

De hecho, si no fuera así, entonces habría algunos $\epsilon>0$ y una subsecuencia $(x_{m_k})$ de $(x_n)$ con $d\big(\phi(x_{m_k}),\phi(x)\big)\geq \epsilon$ para todos $k$ . Ahora, $\big(\phi(x_{m_k})\big)$ está por supuesto acotada, así que por el Teorema de Bolzano-Weierstrass debe tener una subsecuencia convergente, digamos $\left(\phi\left(x_{m_{k_j}}\right)\right)$ . Por construcción, tenemos que $$y=\lim_{j\to\infty}\phi\left(x_{m_{k_j}}\right)\neq \phi(x)$$

Pero $\left(x_{m_{k_j}}\right)$ es una subsecuencia de $(x_n)$ y, por tanto, converge a $x$ . De ello se deduce que $$\lim_{j\to\infty}\left(x_{m_{k_j}},\phi\left(x_{m_{k_j}}\right)\right)=(x,y)$$ y, por tanto, no pertenece a $Gra(\phi)$ en contradicción con $(2)$ . $\square$ .

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Obsérvese que en la demostración anterior no necesitábamos la hipótesis de que $\phi$ sino que $\phi$ 'preserva la acotación', es decir, $\phi$ lleva conjuntos acotados a conjuntos acotados.

Answer 2

Esto es incorrecto (para una función no limitada). toma $\phi : [0, \infty] \rightarrow R$ con $\phi(x) = \frac{1}{x}$ para todos $x \in (0, \infty)$ y $\phi (0)=0$ . su gráfica es cerrada pero $\phi$ no es continua.

EDIT: El ejemplo anterior es para sin límites en dominio limitado (antes de editar la pregunta original). Si suponemos que la función está acotada, entonces la afirmación es correcta.

Pruebas: De izquierda a derecha: la función $F(x) = (x, \phi(x))$ es continua (ahora hay que demostrar que la gráfica es cerrada en $X \times R^n$ Utilizaremos la definición secuencial de continuidad de $F$ ). De derecha a izquierda: de forma similar a su argumento, tome $x_n \rightarrow x \in X$ . quieren demostrar que $\phi(x_n) \rightarrow \phi(x),$ si realmente $\phi(x_n) \nrightarrow \phi(x)$ entonces (ya que $\phi$ está acotada) $\phi (x_n)$ tiene una subsecuencia convergente, digamos $\phi (x_{n_{k}}) \rightarrow y \neq \phi(x)$ es decir, $$(x_{n_{k}}, \phi (x_{n_{k}}) ) \rightarrow (x,y)\notin \text{Graph}.$$

Lo que se contradice con que Graph esté cerrado.

Answer 3

$\iff$ su gráfico es cerrado.

Eso es ambiguo. ¿Cerrado en qué espacio? Para ser precisos, normalmente el grafo se considera cerrado en $X\times\mathbb{R}^n$ (a diferencia de $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ que consideras en tu contraejemplo).

Eso es razonable porque su argumento es correcto si consideramos enteros $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ . Lo que has demostrado es que si $X$ no está cerrado en $\mathbb{R}^m$ entonces no se puede cerrar ningún gráfico en $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ para funciones acotadas. IMO esto hace $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ poco interesante (en este contexto).

Entonces $(a,b)\in \overline{Gra(\phi)}$

Ahí es donde te equivocas (al menos en el supuesto adecuado de que estemos considerando $X\times\mathbb{R}^n$ como el universo). Ese punto ni siquiera pertenece a $X\times\mathbb{R}^n$ (porque $a\not\in X$ ) así que ¿cómo puede pertenecer a algún subconjunto? Su dominio es $X$ no $\mathbb{R}^m$ . Recuerde que el gráfico se define como subespacio de dominio por codominio por lo que el cierre también se considera en $X\times\mathbb{R}^n$ .

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Así que aquí está la prueba real. En primer lugar, supongo que por "limitado" en realidad quiere decir acotado.

Si $\phi$ está acotada, entonces eso significa que la imagen de $\phi$ está limitada. Por lo tanto

$$\mbox{im}(\phi)\subseteq C\subset\mathbb{R}^n$$

donde $C$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$ (por ejemplo, alguna bola cerrada). Ahora definamos

$$\phi':X\to C$$ $$\phi'(x)=\phi(x)$$

Tenga en cuenta que $\phi$ es continua si y sólo si $\phi'$ es. También gráficos de $\phi$ y $\phi'$ son iguales como conjuntos.

Por otra parte $\phi'$ es continua si y sólo si su gráfica es cerrada en $X\times C$ por el teorema del gráfico cerrado (que se aplica desde $C$ es compacto). Pero como $X\times C$ es un subconjunto cerrado de $X\times\mathbb{R}^n$ entonces la gráfica de $\phi'$ está cerrado en $X\times C$ si y sólo si está cerrado en $X\times\mathbb{R}^n$ .

En conjunto, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• $\phi$ es continuo
• $\phi'$ es continuo
• gráfico de $\phi'$ está cerrado en $X\times C$
• gráfico de $\phi'$ está cerrado en $X\times\mathbb{R}^n$
• gráfico de $\phi$ está cerrado en $X\times\mathbb{R}^n$

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Esto puede generalizarse de la siguiente manera:

Sea $X, Y$ sean espacios topológicos con $Y$ Hausdorff. Supongamos que $f:X\to Y$ es una función tal que $\overline{\mbox{im}(f)}$ es compacto. Entonces $f$ es continua si y sólo si la gráfica de $f$ está cerrado en $X\times Y$ .