Dimensión del espacio de configuración del poliedro convexo triangulado

Question

El espacio de configuración de todos los tetraedros es $5$ -dimensional, quizás un hecho no evidente. Existen $12$ ángulos de las caras, pero la suma de cada uno de los ángulos de las cuatro caras es $\pi$ , reduciendo $12$ a $8$ grados de libertad. Sin embargo, existen otras relaciones trigonométricas trigonométricas que deben cumplir los ángulos, como se indica en la Artículo de Wikipedia . Esto reduce la dimensión del espacio de configuración a $5$ dimensiones.

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Imagen de Wikipedia: producto de senos de ángulos marcados son iguales.

Mi pregunta es:

¿Existe una generalización a otros poliedros convexos triangulados?

Por ejemplo, consideremos el espacio de todos los poliedros convexos que son combinatoriamente combinatoriamente equivalentes a un octaedro regular. Aquí tenemos $24$ ángulos de la cara ( $4$ por vértice), pero entonces $8$ ángulos del triángulo que suman $\pi$ reduce la $24$ a $16$ grados de libertad. Es de suponer que existan relaciones trigonométricas adicionales que reduzcan aún más la dimensión del espacio de configuración. Mi adivina es $10$ dimensiones.

Tal vez sea mejor pensar en términos de coordenadas de vértice en lugar de en ángulos de las caras?

Answer 1

Un poliedro convexo puede considerarse como una métrica plana con singularidades cónicas en la esfera. Esta métrica está completamente determinada (hasta un factor constante) por la estructura conforme de la esfera con $v$ puntos marcados ( $v$ es el número de vértices) y $v$ ángulos alrededor de estos puntos (sumas de ángulos de caras que se encuentran en un vértice). Tres puntos pueden ser fijos y el resto dependen de $2$ parámetros reales cada uno. Los ángulos satisfacen una relación (procedente de Gauss-Bonnet). Por tanto, el número total de parámetros es $$2(v-3)+v-1=3v-7.$$ Para el tetraedro, $v=4$ y obtenemos $5$ .

(Dado que tu argumento implica sólo ángulos, supongo que contaste tetraedros hasta escalar, como hice yo).

El hecho de que toda métrica plana con singularidades cónicas y ángulos $<2\pi$ en cada singularidad corresponde a un politopo convexo incrustado en $R^3$ no es trivial, pero supongo que es cierto.

Observación: Su condición de que es "triangulada", si lo entiendo es irrelevante: la superficie de cualquier politopo convexo puede triangularse sin añadir nuevos vértices.

Observación 2: esta respuesta es menos elemental pero contiene alguna información extra en comparación con la respuesta de Yoav Kallus: da una parametrización global del conjunto de politopos convexos, no sólo el recuento de dimensiones. También funciona para politopos hiperbólicos o esféricos (suponiendo que los ángulos sean menores que $2\pi$ .

Answer 2

Para los poliedros simpliciales, basta con sumar los grados de libertad de colocación de los vértices en el espacio y restar 7 grados de libertad de rotación, traslación y escalado para obtener $3v-7$ como en la respuesta de Alexandre Eremenko.