Demostrando Integral De La Desigualdad

Question

Estoy trabajando en demostrar la siguiente desigualdad, pero estoy atascado.

Deje $g$ ser una función derivable tal que $g(0)=0$ $0<g'(x)\leq 1$ todos los $x$. Para todos los $x\geq 0$, demostrar que

$$\int_{0}^{x}(g(t))^{3}dt\leq \left (\int_{0}^{x}g(t)dt \right )^{2}$$

Answer 1

Desde $0<g'(x)$ todos los $x$,$g(x)\geq g(0)=0$. Ahora vamos a $F(x)=\left (\int_{0}^{x}g(t)dt \right )^{2}-\int_{0}^{x}(g(t))^{3}dt$. Entonces $$F'(x)=2g(x)\left (\int_{0}^{x}g(t)dt \right )-g(x)^3=g(x)G(x),$$ donde $$G(x)=2\int_{0}^{x}g(t)dt-g(x)^2.$$ Pretendemos que $G(x)\geq 0$. Suponiendo que la demanda, tenemos $F'(x)\geq 0$ a partir de la anterior igualdad, lo que implica que $F(x)\geq F(0)=0$, lo que demuestra la declaración requerida.

Para probar la afirmación, tenemos $$G'(x)=2g(x)-2g(x)g'(x),$$ que es no negativa desde $g'(x)\leq 1$ $g(x)\geq 0$ todos los $x$. Por lo tanto, $G(x)\geq G(0)=0$ como se requiere.

Answer 2

Es sencillo: La función de $g$ es positivo para todos los $x>0$. Por lo tanto, $g'(t)\leq 1$ implica

$$2 g(t)g'(t)\leq 2 g(t)\qquad(t>0)\ ,$$

y la integración de este con respecto a $t$ $0$ $y>0$tenemos

$$g^2(y)\leq 2\int_0^y g(t)\ dt\qquad(y>0)\ .$$

Multiplicando con $g(y)$, de nuevo tenemos

$$g^3(y)\leq 2 g(y)\ \int_0^y g(t)\ dt ={d\over dy}\left(\Bigl(\int_0^y g(t)\ dt\Bigr)^2\right) \qquad(y>0)\ ,$$

y la declaración de la siguiente mediante la integración de la última desigualdad con respecto a $y$$0$$x>0$.