Puntos en el plano - Principio de encasillamiento - Afinar el resultado

Question

Se dan trece puntos en el plano de forma que entre tres cualesquiera de ellos hay un par cuya distancia es menor que $1$ . Demostrar que es posible seleccionar siete de los puntos de modo que todos ellos sean interiores a una circunferencia de radio $1$ .

Este problema puede resolverse aplicando el Principio del Casillero. Sea $A$ sea un punto cualquiera, y consideremos el círculo $C_A$ de radio $1$ en torno a $A.$ Si hay al menos siete puntos en este círculo, hemos terminado. Si no, dejemos que $B$ sea un punto fuera de $C_A$ y considere $C_B$ un círculo de radio $1$ en torno a $B.$ Por la condición del problema, todos los puntos están en $C_A$ o $C_B$ por lo que, según el Principio del Casillero, al menos siete de los puntos se encuentran en el mismo círculo.

Ahora la cuestión es si el resultado podría afinarse para afirmar que es posible seleccionar siete de los puntos de modo que todos ellos sean interiores a un círculo de radio $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . En caso afirmativo, ¿cómo puede demostrarse?

Answer 1

La imagen muestra una distribución incorrecta de siete puntos en el círculo, pero nos ayuda a encontrar la prueba de la afirmación:

En determinadas condiciones, es posible seleccionar siete de los puntos de modo que todos ellos estén dentro de un círculo de radio $\frac{1}{\sqrt3}.$

Supongamos que siete de los puntos se encuentran en un círculo $C$ de radio $1,$ y los seis restantes se encuentran fuera de un círculo $C'$ concéntrico a $C,$ radio de $C'$ siendo como mínimo $3.$

Ignora por un momento los seis puntos que quedan fuera.
La imagen muestra la posición relativa más estirada de los siete puntos: uno es el centro del círculo, cuatro puntos $1,4,5,3$ están cerca de los vértices de un hexágono regular, otros dos puntos están cerca de los arcos $(1,4)$ y $(3,5),$ respectivamente.

SIN EMBARGO, la distribución de los trece puntos descrita no cumple la condición. El problema sólo se produce si uno de los tres puntos se encuentra fuera de $C'$ y los dos de dentro $C,$ pero están demasiado lejos. Por lo tanto, la distancia entre dos puntos cualesquiera dentro de $C$ debe ser inferior a $1.$ En consecuencia, los siete puntos se encuentran dentro de un triángulo curvilíneo (como en la imagen, con vértices $1,2,4$ ). Como el circunradio de este triángulo es $\frac{1}{\sqrt3},$ hemos terminado.