¿Por qué es necesaria la continuidad para las definiciones teóricas de una estructura en un espacio?

Question

Por ejemplo, tomo diferenciabilidad, analiticidad y algebraicidad (de una función). Todas (más o menos) implican continuidad. Así que cuando definimos una función diferenciable en $\mathbb R^n$ o una función analítica sobre $\mathbb C^n$ o un mapa regular en un espacio afín, no exigimos explícitamente que las funciones sean continuas. Se deduce automáticamente de la condición más fuerte.

Pero, cuando miro las definiciones en los libros de una estructura global utilizando la teoría de gavillas, para una definición global de un morfismo, es decir, sobre una variedad diferenciable o un espacio analítico, o una variedad algebraica abstracta, la definición de un morfismo requiere a priori que el mapa sea continuo, y entonces uno requiere que haya además un morfismo de gavillas de álgebras (del tipo adecuado de gavillas de estructura, dependiendo del modelo local utilizado).

¿Por qué? ¿Se trata de un capricho o hay una necesidad real de suponer una continuidad adicional? Quiero decir, ¿podrían salir mal las cosas si se suprime esta suposición?

Answer 1

Como indica Andrea, si empiezas con las gavillas, necesitas continuidad incluso para empezar a hablar de morfismos de gavillas.

Sin embargo, si lo que te interesa es definir, por ejemplo, un mapa suave entre múltiples, puedes escribir simplemente " $f \colon M \to N$ es suave si, siempre que $c \colon \mathbb{R} \to M$ es una curva suave, entonces $f \circ c \colon \mathbb{R} \to N$ es suave". No es necesaria ninguna suposición sobre la continuidad.

De hecho, una vez que se llega a espacios más exóticos, la continuidad se convierte en una molestia y es mejor dejarla de lado. Por ejemplo, el mapa de evaluación $E \times E^* \to \mathbb{R}$ es suave para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, $E$ pero sólo es continua para $E$ un espacio vectorial normado.

Answer 2

Sea $M,N$ dos colectores y $f : M \to N$ un mapa (teórico de conjuntos). Entonces hay (al menos) dos definiciones para $f$ ser suave:

(1) Para cada bola $B \subseteq N$ la preimagen $f^{-1}(B)$ se puede cubrir con bolas $C \subseteq M$ tales que los mapas inducidos $C \to B$ son suaves.

(2) $f$ es continua y para cada bola $B \subseteq N$ y cada bola $C \subseteq f^{-1}(B)$ el mapa inducido $C \to B$ es suave.

Obsérvese que en (1) se deduce automáticamente que $f$ es continua. Sin embargo, la segunda afirmación de (2) no implica continuidad porque es posible que $f^{-1}(B)$ no contiene ninguna bola, o no la suficiente.

Lo mismo ocurre con otros subtramos de funciones continuas mencionados en la pregunta.

Answer 3

La respuesta sencilla es porque estás describiendo tus "espacios" (manifolds, variedad, etc.) como espacios localmente anillados, en particular objetos de la categoría de espacios topológicos + más datos. Las flechas en la categoría de espacios topológicos son precisamente mapas continuos, así que aquí es donde entra en juego la continuidad. Para ser más concretos $C$ sea una categoría cualquiera, y sea $S:C \to Cat$ cualquier pseudofunctor (2-functor débil). "Supongamos que $S$ es la asignación de cada objeto $c \in C_0$ su categoría de "gavillas de objetos algebraicos", por ejemplo, si $C$ son espacios topológicos se podría dejar que $S$ sea $S:X \mapsto Sh_{rings}(X)$ que se asocia a un espacio $X$ la categoría de tramas de anillos locales sobre $X$ . Para cualquier $S$ se puede tomar su construcción de Grothendieck, que da lugar a una categoría fibrada sobre $C$ , $\int_C{S} \to C$ . Los objetos de $\int_C{S}$ son pares $(c,s)$ con $c \in C_0$ et $s \in S(C)_0$ y los mapas $(c,s) \to (d,t)$ son pares $(f,g)$ tal que $f:c \to d$ en $C$ et $g:f^*(t) \to s$ en $S(C)$ y el functor $\int_C{S} \to C$ envía $(c,s)$ a $c$ et $(f,g)$ a $f$ . Si $S$ et $C$ se consideran $Sh_{rings}$ et $Top$ entonces se obtiene exactamente la categoría de espacios localmente anillados, por ejemplo. Por construcción, el "morfismo subyacente" de un morfismo $(c,s) \to (d,t)$ es un morfismo $f:c \to d$ . Si $C$ es $Top$ entonces, por supuesto, esto significa que es un morfismo en $Top$ y, por tanto, continua.