Hallar el número de todas las secuencias $\{ a_{n}\}$ en $\{-5,-4,-3,...,0,1,...,100\}$ tal que $ |a_{n}| < |a_{n+1}|$ .

Question

Hallar el número de todas las secuencias $\{ a_{n}\}$ en $\{-5,-4,-3,...,0,1,...,100\}$ tal que $ |a_{n}| < |a_{n+1}|$ .

Creo que podemos encontrar una secuencia única para cada subconjunto no vacío de $\{0,1,\ldots ,100\}$ por lo que tenemos al menos $2^{101}-1$ .

Answer 1

La respuesta final debe ser $$\left[3^5 \times 2^{(96)}\right] -1.$$

Esto es muy similar a su estimación inicial, excepto que para $5$ de los valores absolutos, $\{|1|, |2|, \cdots, |5|\}$ tienes tres opciones, en lugar de dos.

Answer 2

Sea $\{a_n\}$ sea una secuencia [posiblemente vacía]. Por el razonamiento de la OP, la secuencia $\{a_n\}$ está completamente determinado por 1. y 2 juntos a continuación:

1. para cada uno de los $5$ números enteros $i \in \{1,2,3,4,5\}$ , si $i,-i$ o ninguno de los dos, está en $\{a_n\}$ [así $3$ opciones, y esas son precisamente las $3$ opciones para cada uno de esos $5$ números enteros $i$ ],

2. para cada uno de los restantes $96$ números enteros $i \in \{0,6,7,8,\ldots, 100\}$ , independientemente de que $i$ está en $\{a_n\}$ [así $2$ opciones para cada uno de esos $96$ números enteros $i$ ].

De este modo se obtiene precisamente $3^5 \times 2^{96}$ opciones para $\{a_n\}$ incluida la secuencia vacía. Sin embargo, existe exactamente $1$ secuencia vacía, el número de **no vacíos $\{a_n\}$ es entonces $(3^5 \times 2^{96})-1$ .

¿Y si la condición se cambiara por $|a_n| \le |a_{n+1}|$ en lugar de $|a_n|<|a_{n+1}|$ . Entonces el número de tales secuencias se convierte en $4^52^{96}-1$ . ¿Puedes ver por qué?