Cómo calcular $\mathbb{P}[Y\in F|X]_{\omega}$

Question

Aquí tengo un ejercicio de libro: Probabilidad y Medida de PATRICK BILLINGSLEY de probabilidad condicional en la página 442, exercicece 33.4 (b):

Sea $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad, y un segundo espacio de probabilidad $(\mathbb{R}²,\mathscr{B}(\mathbb{R}^2),\mu)$ donde $\mathscr{B}(\mathbb{R}^2)$ es el álgebra sigma del borel y $\mu$ la distribución de un vector aleatorio $(X,Y)$ en $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ . Supongamos que $(X, Y)$ tiene densidad $f$ y demuestre que $$ \mathbb{P}[Y\in F|X]_{\omega}=\dfrac{\int_F f(X(\omega),t)dt}{\int_{} f(X(\omega),t)dt} $$ con probabilidad $1$ .

Mi problema : En la página $432$ en el ejemplo $33.5$ se analiza un problema similar, pero este ejemplo es fácil porque el álgebra sigma en cuestión es el álgebra sigma generada por bandas verticales $E\times \mathbb{R}$ , lo que permite utilizar el Teorema de Fubinni para obtener una integral iterada.En este caso no se como proceder.

Answer 1

Para abreviar la notación, establezca

$$g(x) := \frac{\int_F f(x,y) \, dy}{\int f(x,y) \, dy}. \tag{1}$$

Para demostrar $$\mathbb{P}(Y \in F \mid X) = g(X)$$

basta con demostrar $$\int_A g(X) \, d\mathbb{P} = \int_A \mathbb{P}(Y \in F \mid X) \, d\mathbb{P}$$ para cualquier $A \in \sigma(X)$ . Recordemos que cualquier $A \in \sigma(X)$ puede escribirse como $A= X^{-1}(B)$ para algún conjunto de Borel $B$ . Por lo tanto, por el teorema de Tonelli,

$$\begin{align*} \int_A g(X) \, d\mathbb{P} &= \int 1_B(X) g(X) \, d\mathbb{P} \\ &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} 1_B(x) \, g(x) \, f(x,y) \, dx \, dy \\ &= \int 1_B(x) g(x) \left( \int f(x,y) \, dy \right) \, dx \\ &\stackrel{(1)}{=} \int 1_B(x) \left( \int_F f(x,y) \, dy \right) \, dx. \tag{2} \end{align*}$$

Por otro lado,

$$\begin{align*} \int_A \mathbb{P}(Y \in F \mid X) \, d\mathbb{P} &= \int_A 1_F(Y) \, d\mathbb{P} = \int 1_B(X) 1_F(Y) \, d\mathbb{P} \\ &= \int \int 1_B(x) 1_F(y) f(x,y) \, dx \, dy. \tag{3} \end{align*}$$

Desde $(2)$ es igual a $(3)$ hemos terminado.