$x^p-u$ es irreducible en $\mathbb{F}_p(u)[x]$

Question

Sea $k$ sea el campo de fracciones del anillo de polinomios sobre un campo finito primo, $k:=\mathbb{F}_p(u)$ . ¿cómo se muestra el polinomio $x^p-u\in k[x]$ ¿es irreducible? Probablemente es fácil ver que no tiene raíz en $k$ . El lema de Gauss podría permitirme trabajar en el anillo $\mathbb{F}_p[x,u]$ Pero no estoy seguro de qué hacer a partir de ahí o si es el enfoque correcto.

Answer 1

Para responder a la pregunta modificada de su comentario.

Si $\alpha$ es una raíz en algún campo de extensión, entonces $X^p-u=(X-\alpha)^p$ sobre ese campo. Así que una factorización no trivial en cualquier campo, $X^p-u=g(X)h(X)$ decir, implica $g(X)=(X-\alpha)^r=X^r-r\alpha X^{r-1}+\dots$ con $r\ne 0, p$ . Si los coeficientes están en $\mathbb{F}_p[u]$ entonces $\alpha\in\mathbb{F}_p[u]$ .