Cómo argumentar rigurosamente que el estado de superposición es inestable en caso de ruptura espontánea de simetría

Question

En mecánica cuántica, la definición de ruptura de simetría no es trivial. Véase ¿Qué es la ruptura espontánea de simetría en los sistemas QUANTUM?

Permítanme resumir brevemente esta pregunta:

1. En spin- $1/2$ modelo cuántico ferromagnético de Heisenberg: $$H_1=-\sum_{i}\hat{\mathbf{S}}_i\cdot \hat{\mathbf{S}}_{i+1}$$ el estado básico exacto de tamaño finito o infinito es que todos los giros apuntan en la misma dirección, por ejemplo $|\uparrow \cdots\rangle$ , $|\downarrow \cdots\rangle$ . Pero en QM, la superposición de estos dos estados sigue siendo el estado fundamental.

2. En algunos modelos, como el modelo de Ising transversal (para $|h|<1$ ) $$H_2=\sum_i(-\sigma^z_i \sigma^z_{i+1}+h \sigma^x_i)$$ Para un sistema finito, el estado base es único y no rompe la $\mathbb{Z}_2$ simetría. Para un sistema infinito, el estado fundamental es doblemente degenerado.

Por tanto, la forma habitual de definir la ruptura espontánea de simetría (SSB), por ejemplo, que el estado básico tenga una simetría menor que el sistema, parece estar mal definida. En el modelo cuántico ferromagnético de Heisenberg, existe un estado básico simétrico sin ruptura de simetría, independientemente del tamaño finito o inifinito del sistema. En el modelo de Ising transversal, para cualquier tamaño finito del sistema, el estado fundamental es incluso único y no rompe la simetría $\mathbb{Z}_2$ symmtry. Incluso en tamaño infinito, sigue existiendo el estado básico simétrico.

El profesor Wen dio una definición inequívoca de la ruptura espontánea de simetría en un sistema cuántico .

Definición (Wen): Un modelo se llama ruptura espontánea de simetría (SSB) si existe un estado simétrico en tierra que es el estado GHZ.

No importa en un sistema con o sin SSB, siempre existe el estado básico simétrico como vemos en el ejemplo anterior. Pero stete tierra simétrica es inestable (tipo GHZ) en el sistema SSB.

Mis preguntas

1. Cómo argumentar rigurosamente que el estado de superposición es inestable en caso de ruptura espontánea de la simetría (creo que debería tener relación con la decoherencia).

He oído diferentes tipos de explicaciones que apenas entiendo:

El primer dicho es que SSB sólo puede ocurrir en un sistema infinitamente grande porque el tunelado entre diferentes vacíos degenerados se amortigua exponencialmente a medida que aumenta el tamaño del sistema.

2. En el modelo ferromagnético de Heisenberg, $\langle\downarrow \cdots |H_1 |\uparrow \cdots\rangle$ es siempre $0$ no importa que el sistema sea finito o infinito. Pero sabemos que en tamaño finito el modelo ferromagnético de Heisenberg puede tener estado de superposición. Parece que "la amplitud de túnel es cero" no tiene ninguna relación con "la estabilidad del estado simétrico".

3. Además, ¿cómo pueden tener amplitud de tunelización los estados bajos degenerados? Porque si hay tunelización entre diferentes estados bajos degenerados, existe un término fuera de diagonal, entonces no son el estado bajo.

Por ejemplo, $$H =\begin{bmatrix}1 & 0\\0&1 \end{bmatrix}$$ Si $(1,0)$ et $(0,1)$ tienen amplitud de túnel, significa que Hamitonian es $$H' =\begin{bmatrix}1 & \epsilon \\\epsilon &1 \end{bmatrix}$$ Entonces $(1,0)$ et $(0,1)$ no son de estado sólido.

El segundo dicho es que en el modelo SSB, bajo la perturbación que rompe la simetría, el estado simétrico es exponencialmente inestable a medida que el tamaño llega a infinito.

4. ¿Qué significa esta frase? Porque tanto si el modelo es de ruptura de simetría espontánea como si no, si añades un término de ruptura de simetría al Hamitoniano original, el estado fundamental siempre rompe la simetría.

Por ejemplo, el modelo Ising transversal con $h>1$ el estado básico no rompe la simetría. Si se añade un término de perturbación $\sum_i t \sigma^z_i$ para este Hamitoniano, el estado de tierra siempre rompe el $\mathbb{Z}_2$ simetría.

$$H_3=\sum_i(-\sigma^z_i \sigma^z_{i+1}+2 \sigma^x_i +t \sigma^z_i)$$ No importa lo pequeño que sea $t>0$ el estado básico de $H_3$ siempre rompe el $\mathbb{Z}_2$ simetría.

Answer 1

1.

El punto clave que se te escapa es que la ruptura espontánea de simetría, o de hecho la noción de transiciones de fase en general, sólo funciona para sistemas con local interacciones. Una transición de fase se define como un punto en el espacio de parámetros hamiltonianos en el que la densidad de energía libre se convierte en no analítica en el límite de tamaño infinito. Obviamente, esta definición presupone la existencia de un límite bien definido de la densidad de energía libre en el sistema infinito. Pero para sistemas de celosía traslacionalmente invariantes como el modelo de Ising, la densidad de energía libre sólo se aproxima a un valor constante como $N \to \infty$ si $\sum_j J_{ij}$ converge absolutamente, lo que significa aproximadamente que $|J_{ij}|$ tiene que caer más rápido que $1/r^d$ donde $d$ es el número de dimensiones. En otras palabras, los acoplamientos deben ser razonablemente locales.

(Los expertos podrían objetar que los sistemas desordenados con acoplamientos todo-todo no locales, como los modelos Sherrington-Kirkpatrick o SYK, siguen teniendo transiciones de fase que rompen la simetría de réplica. Pero en realidad eso sólo es cierto si se reescalan las constantes de acoplamiento como una potencia del tamaño total del sistema, lo que no es algo muy físico. Si no se hace así, la transición de fase desaparece, y de hecho la $N \to \infty$ límite queda mal definido. Los sistemas reales nunca son verdaderamente totalmente acoplados - en la práctica hay alguna distancia máxima a la que los acoplamientos desaparecen, y los modelos totalmente acoplados son sólo una aproximación conveniente).

Cualquier explicación putativa de la ruptura espontánea de simetría que no utilice explícitamente la localidad es, en el mejor de los casos, muy incompleta. La decoherencia es demasiado complicada para explicarla aquí, pero un supuesto clave es que las interacciones son locales en el espacio, lo que escoge la base de posición como base de puntero naturalmente favorecida, de modo que los estados cercanos a la posición son más naturales que, digamos, los estados cercanos al momento.

2. y 3.

La localidad del sistema, y en concreto la suposición de que las perturbaciones son todas locales, nos da una noción de la "distancia" entre dos estados que es más útil que la mera ortogonalidad. Como señalas, la ortogonalidad/productos internos por sí solos no pueden distinguir entre dos estados que sólo difieren en un espín y dos estados que difieren en todos sus espines, aunque el último par sea claramente en algún sentido "más diferente" que el primero.

Por supuesto, tiene razón en que $\langle i | A | j \rangle = 0$ para cualquier dos estados propios distintos de cualquier operador hermitiano, no sólo el hamiltoniano. Pero ese simple elemento matricial no es la definición correcta de "la amplitud de tunelización". Hasta donde yo sé, la definición real es un poco confusa y el concepto es más un arte que una ciencia, pero aquí hay dos posibles conceptualizaciones:

a) Puedes pensar en el término de ruptura de simetría como una perturbación y descomponer el Hamiltoniano como $H = H_0 + \Delta H$ donde $H_0$ respeta la simetría y $\Delta H$ lo rompe. Entonces la teoría de perturbaciones nos dice que todas las correcciones perturbativas pueden expresarse en términos de los elementos de la matriz $\langle i_0 | \Delta H | j_0 \rangle$ donde $\langle i_0|$ et $|j_0\rangle$ son los estados propios del Hamiltoniano no perturbado $H_0$ no el Hamiltoniano exacto. Estos elementos de la matriz son genéricamente distintos de cero.

b) No me gusta la teoría de perturbaciones, así que prefiero pensar en ella por analogía con Montecarlo. El entorno intenta actuar constantemente sobre el sistema con pequeñas perturbaciones locales aleatorias que rompen la simetría. Puedes pensar en ello como si $h = 0$ en el Hamiltoniano completo, pero $h_i \sigma_i^x$ términos aparecen aleatoriamente de forma momentánea en individual sitios $i$ (o términos similares en pequeños grupos locales de emplazamientos). Son como los cambios de espín candidatos de Montecarlo y, a baja temperatura, sólo se aceptan si reducen la energía total del sistema. Para un sistema pequeño que comienza en la zona all- $\uparrow$ Si tienes suerte y aceptas un número suficiente de giros que te lleven a una mayoría $\downarrow$ estado, momento en el que probablemente procederá a todo- $\downarrow$ - a pesar de que cada uno de esos primeros giros individuales eran improbables. Pero para voltear más de la mitad del sistema, inicialmente hay que tener suerte muchas veces seguidas (independientes), y las probabilidades de que eso ocurra disminuyen exponencialmente con el tamaño del sistema. La "amplitud de tunelización" es básicamente la probabilidad de que esto ocurra después de muchos barridos de Monte Carlo, y efectivamente disminuye exponencialmente con el tamaño del sistema. Si el sistema es pequeño, acabará pasando al otro estado, aunque tardará mucho tiempo. Para un sistema grande, llevará un realmente mucho tiempo, y para un sistema infinito nunca llegará del todo.

Si esa analogía es demasiado clásica para tu gusto, puedes pensar en el espacio de circuitos cuánticos aleatorios, con circuitos ponderados según una función de coste que depende de los elementos de la matriz hamiltoniana, y la "amplitud de tunelización" entre dos estados cuánticos es como el peso total de todos los circuitos aleatorios que llevan de un estado al otro.

4.

Tienes razón en que cualquier valor finito de $h$ rompe la simetría. Para cualquier sistema, incluso uno infinito, tienes que $m(h) \neq 0$ si $h > 0$ . Pero ¿qué pasa con el límite $h \to 0^+$ ? Una definición de SSB es el fallo de los límites $h \to 0^+$ et $N \to \infty$ para desplazarse. En la fase SSB, después de tomar $N \to \infty$ , tienes que $m(h)$ tiene una discontinuidad de salto en $h = 0$ de modo que $m(0) = 0$ pero $\lim \limits_{h \to 0^+} m(h) > 0$ . Que lo que queremos decir cuando decimos que una perturbación infinitesimal $h$ rompe la simetría.

Answer 2

Ya hay algunas buenas respuestas, pero yo daré una física, al grano, para los que tengan prisa.

La cuestión que abordaré es la siguiente

¿Por qué los estados gato (como los estados GHZ) son físicamente inestables?

Siendo la respuesta

Porque una interacción genérica con el entorno --por pequeña que sea-- colapsará/descohesionará tales estados.

Por ejemplo, consideremos la cadena de Ising habitual en la que un único espín interactúa con un único espín del entorno: $$ H = - \left( \sum_{n=1}^{N-1} \sigma^z_n \sigma^z_{n+1} \right) - \varepsilon \; \sigma^z_1 \sigma^z_\textrm{env} \qquad (\textrm{with }\varepsilon >0).$$

Los estados básicos del estado gato serán $$ |\Psi_\pm \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow_1 \uparrow_2 \cdots \uparrow_N \uparrow_\textrm{env} \rangle \pm |\downarrow_1 \downarrow_2 \cdots \downarrow_N \downarrow_\textrm{env} \rangle \right). $$ Suponiendo que no tengamos un control/conocimiento (coherente) del entorno, nuestra descripción efectiva es $$ \rho_\textrm{system} = \textrm{Tr}_{\textrm{env}} \left( |\Psi_\pm\rangle \langle \Psi_\pm | \right) = \frac{1}{2} \left( \rho_+ + \rho_- \right),$$ donde $\rho_\pm$ son los estados de simetría rota del sistema (correspondiente a $|\uparrow_1 \cdots \uparrow_N\rangle$ et $|\downarrow_1\cdots \downarrow_N\rangle$ ).

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NB: Lo anterior también explica por qué los estados GHZ que aparecen como estados básicos de cadenas fermiónicas topológicas (por ejemplo, la cadena Kitaev) son estables : no existe ningún operador local que divida el espacio de Hilbert bidimensional, mientras que lo anterior funcionaba porque existía tal operador local (es decir. $\sigma^z_1$ ) al que podría acoplarse el entorno (funcionando este último como aparato de medición).

Answer 3

El problema es que, hablando por ejemplo del modelo de Ising de campo transversal, los estados $\Omega_\pm$ con todos los espines con espín- $z$ -eigenvalue $\pm 1$ no existen en el mismo espacio de Hilbert en el límite termodinámico.

Esto parece una afirmación extraña, así que intentaré explicarlo mejor. Trabajando directamente en el límite termodinámico, debemos tener cuidado con los operadores que permitimos. Teniendo en cuenta que los aparatos de medida sólo tienen un tamaño finito, deberíamos permitir sólo operadores locales, es decir, aquellos operadores que de alguna manera decaen en el infinito (por ejemplo, exponencialmente, o con soporte finito).

Entonces, para todos los operadores $O$ tenemos que

$$\langle \Omega_-, O \Omega_+ \rangle = 0.$$

Es decir, no hay ningún operador que le lleve de $\Omega_-$ a $\Omega_+$ . (Esto está posiblemente relacionado con este asunto de la "probabilidad de tunelización"). Sin embargo, ¡ésta es exactamente la definición de un sector de superselección! De ahí que lo que creías que era el único estado básico simétrico

$$\frac{\Omega_+ + \Omega_-}{\sqrt{2}}$$

no es una superposición, sino en realidad una mezcla estadística de dos estados de simetría rota.