La desigualdad de Robin y los ceros de la función zeta de Riemann

Question

Robin demostró que si $a\in(1/2, 1]$ es la suma de las partes reales de los ceros de la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ entonces $f(x)=\Omega_{\pm} (x^{-b})$ donde $b$ es un número cualquiera de $(a-1/2, 1/2],$ $$f(x)=\log \Big(e^{\gamma}\log \theta(x)\prod_{p\leq x} (1-p^{-1})\Big),$$ $\theta(x)=\sum_{p\leq x} \log p$ la suma de Chebyshev sobre los primos $p\leq x$ et $\gamma=0.577\cdots$ la constante de Euler.

Pero, ¿es cierto que si $\zeta(s)\neq 0$ para $\Re(s)\in(1/2 , 1]$ entonces $f(x)\neq \Omega_{\pm} (x^{-c})$ para cualquier $c\in (0, 1/2]$ ?

En otras palabras, ¿es cierto que $a\in(1/2, 1]$ es la suma de las partes reales de los ceros de la función zeta de Riemann si y sólo si $f(x)=\Omega_{\pm} (x^{-b})$ donde $b$ es un número cualquiera de $(a-1/2, 1/2]$ ?

Answer 1

Es bien sabido que la hipótesis de Riemann implica $$ \theta(x)=x+O(\sqrt{x}\ln^2 x). $$ Por lo tanto, bajo la hipótesis de Riemann tenemos $$ \ln\theta(x)=\ln x+O\left(\frac{\ln^2 x}{\sqrt{x}}\right). $$ Además, a partir de la suma parcial obtenemos $$ \sum_{p\leq x}\frac{1}{p}=\int_{1.5}^x \frac{d\theta(t)}{t\ln t}=\ln\ln x+M+O\left(\frac{\ln x}{\sqrt x}\right). $$ Ahora, a partir de los teoremas de Mertens obtenemos $$ \ln(e^\gamma \prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right))=-\sum_{p\leq x} \frac{1}{p}+M+O\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln\ln x+O\left(\frac{\ln x}{\sqrt x}\right). $$ Por lo tanto asumiendo RH deducimos que $$ f(x)=\ln\ln\theta(x)+\ln(e^\gamma \prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right))=O\left(\frac{\ln x}{\sqrt x}\right), $$

que ciertamente no es $\Omega(x^{-c})$ para cualquier $c<1/2$ .

Answer 2

Se puede decir un poco más. Asumiendo RH, $f(x)<0$ para $x$ suficientemente grande; y a la inversa, si $f(x)<0$ para $x$ suficientemente grande, entonces RH se mantiene (se puede tomar $x\geq 3$ , esto se encuentra en Nicolas, J.L., "Petits valeurs de la fonction d'Euler", Journal of Number Theory 17 (1983) 375-388).