Si $f:]0,a[\rightarrow \mathbb{R}$ es dif. con $\lim_{x\downarrow 0}f(x)=0$ y $\lim_{x\downarrow 0}f'(x)=c$ entonces $\lim_{x\downarrow 0}f(x)/x=c$

Question

No estoy familiarizado con lhospialrule y todo lo que viene después, por favor considere esto en su respuesta

He intentado fijarme primero en $c=0$ con una estimación mediante el empleo de la calidad de triángulo $|f(x)/x|\leq (|f(x)-f(x_0)|/x)+f(x_0)/x$ en combinación con el hecho de que existe un $x_0$ tal que $|f'(x)|<\epsilon$ para todos $x\leq x_0$ en conjunción con el corolario de que si la derivada es acotada entonces la secante es también acotada (es decir. $\forall x\in ]a,b[:|f'(x)|\leq\epsilon\Rightarrow \forall x_1\leq x_2\in [a,b]:f(x_2)-f(x_1)\leq \epsilon(x_2-x_1)$ ). Pero no funcionó. Yo también no sé cómo usar eso $\lim_{x\downarrow0}f(x)=0$ .

Por favor, ayuda.

Answer 1

Puesto que usted sabe que $f(x) \to 0$ como $x \to 0$ puede definir la función ampliada $F: [0,1) \to \mathbb{R}$ vía $$ F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if }x >0 \\ 0 &\text{if }x=0. \end{cases} $$ Entonces $F$ es continua en $[0,1)$ y diferenciable en $(0,1)$ . Por el teorema del valor medio, para $0 < x <1$ , $$ \frac{f(x)}{x} = \frac{F(x) - F(0)}{x -0} = f'(y) $$ para algunos $0 < y < x$ . De ahí y del hecho de que $f'(x) \to c$ como $x \to 0$ podemos deducir fácilmente que $f(x)/x \to c$ como $x \to 0$ .

Answer 2

Toma $\varepsilon>0$ . Hay un $\delta>0$ tal que $$x\in(0,\delta)\implies \bigl\lvert f'(x)\bigr\rvert<\varepsilon.\tag1$$ Ahora, amplía $f$ a $[0,a)$ poniendo $f(0)=0$ . Entonces, $f$ es continua y diferenciable en $(0,\delta)$ . Entonces, por el teorema del valor medio, si $x\in(0,\delta)$ , $$\frac{f(x)}x=\frac{f(x)-f(0)}x=f'(c).$$ Entonces, por $(1)$ , $\bigl\lvert f'(c)\bigr\rvert<\varepsilon$ . Así que.., $$\left\lvert\frac{f(x)}x\right\rvert<\varepsilon.$$