¿Qué patrón viene antes? - Lanzar monedas justas

Question

Supongamos que lanzas una moneda al aire una y otra vez.

El problema es el siguiente: Si se elige un patrón entre los 8 patrones siguientes de $$HHH, HHT, HTH, THH, HTT,THT,TTH,TTT$$ donde H significa cabeza y T significa cola, entonces siempre puedo encontrar otro patrón tal que mi patrón venga antes que tu patrón con probabilidad estrictamente mayor que 1/2.

Podría hacerlo por $HHH$ si elige $HHH$ entonces elijo $THH$ . La probabilidad de $THH$ antes de $HHH$ es mayor que 1/2; a menos que los tres primeros resultados sean todos $H$ que tiene una probabilidad de 1/8, $THH$ viene antes que $HHH$ .

Con un argumento similar, podría resolverlo para $TTT$ . Sin embargo, me parece desconcertante cuando se trata de otros casos. ¿Alguna buena idea? Gracias y saludos.

Por cierto, este problema procede de Weighing the odds, de David Williams.

Answer 1

Puede hacer lo mismo para $HHT$ (y lo mismo para $TTH$ ) como para $HHH$ . Si elijo $HHT$ Elige $THH$ a menos que los dos primeros resultados sean $H$ con probabilidad $\frac14$ , $THH$ viene antes que $HHT$ .

En términos más generales, quieres que el prefijo más largo del mío sea un sufijo del tuyo y que el sufijo más corto posible del mío sea un prefijo del tuyo.

Así que si elijo $HTT$ quieres $HT$ como sufijo y ni $TT$ ni $T$ como prefijo, por lo que se elige $HHT$ . Si elijo $HTH$ quieres $HT$ como sufijo e idealmente tampoco $TH$ ni $H$ como prefijo; como no se pueden evitar ambos, se evita el más largo, $TH$ y vuelva a elegir $HHT$ .

Para calcular las probabilidades de victoria en estos casos, etiquete los posibles estados no terminales según los dos resultados más recientes, y observe que como nuestros dos patrones empiezan con $H$ el estado inicial es equivalente a $TT$ . Desde este estado, volvemos al mismo estado siempre que consigamos $T$ así que en algún momento terminamos en el estado $TH$ . Consideremos ahora los dos resultados siguientes:

• Con probabilidad $\frac14$ inmediatamente obtenemos mi patrón.
• Con probabilidad $\frac14$ recibimos inmediatamente su patrón.
• Con probabilidad $\frac14$ obtenemos $HH$ y, finalmente, obtener su patrón.
• Con probabilidad $\frac14$ obtenemos la posibilidad restante ( $TH$ en el primer caso, $TT$ en el segundo caso) y, bien inmediatamente o bien con el tiempo, volver al estado $TH$ .

Así, cada vez que alcanzamos el estado $TH$ tienes el doble de mis posibilidades de ganar, así que ganas con probabilidad $\frac23$ y gano con probabilidad $\frac13$ .

Por cierto, nótese que esto demuestra que no sólo la probabilidad de ganar sino también la duración esperada del juego dependen de los patrones. La única diferencia entre los dos casos es que si elijo $HTT$ y tú eliges $HHT$ volvemos inmediatamente a $TH$ en la cuarta opción, mientras que si elijo $HTH$ y tú eliges $HHT$ finalmente volvemos a $TH$ tras alcanzar primero $TT$ por lo que la duración prevista del juego es mayor en el segundo caso.

Answer 2

En aquí :

Una forma fácil de recordar la secuencia para usarla como truco de bar es que el segundo jugador empiece con la elección opuesta a la del medio del primer jugador, y luego la siga con las dos primeras elecciones del primer jugador.

Así que para la elección del primer jugador de 1-2-3 el segundo jugador debe elegir (no-2)-1-2 donde (no-2) es lo contrario de la segunda elección del primer jugador. 1

Una explicación intuitiva para este resultado es que en cualquier caso en que la secuencia no sea inmediatamente la elección del primer jugador, las posibilidades de que el primer jugador consiga su secuencia-inicial, las dos elecciones iniciales, son normalmente las posibilidades de que el segundo jugador consiga su secuencia completa. Así que lo más probable es que el segundo jugador "termine antes" que el primero. 1