Álgebra de precálculo: Término mayor de un polinomio

Question

¿Cuál es el término con más poder en

$$(x^3-2)^{16}-(x^4 + 3)^{12}$$

La respuesta del libro de texto es $-32x^{45}$ pero no estoy seguro de entender el método utilizado para tratar este problema. La mayoría de las preguntas respondidas en Internet suponen que no hay incógnitas al especificar qué es x, o contienen muy poca información.

Por lo que puedo deducir, necesito encontrar dos cosas: la potencia del término mayor y luego el coeficiente de ese término. Si conozco la potencia, sé cómo obtener el coeficiente y luego los comparo entre las dos expansiones.

Para encontrar la mayor potencia, tengo que comparar un término y el siguiente para intentar encontrar un punto en el que la relación pase de ser superior a 1 a ser inferior a 1, y ése es mi máximo.

Empiezo anotando los términos generales:

$$(x^3-2)^{16} = \sum_{k=0}^{16} = \binom{16}{k}(x^3)^k(-2)^{16-k}$$

$$(x^4+3)^{12} = \sum_{k=0}^{12} = \binom{12}{k}(x^4)^k(3)^{12-k}$$

Enfoque 1

Supongamos que $T_k$ es el término más grande. Entonces

$$\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{16-k+1}{k} \cdot \frac{-2}{x^3} = \frac{2k-34}{kx^3}$$

Esto significa que mientras

$$2k-34 > kx^3$$

o

$$k > \frac{34}{2-x^3}$$

...los plazos seguirán aumentando.

No sé muy bien cómo continuar, sobre todo porque k se expresa en función de x. ¿Voy por buen camino?

Enfoque 2

Seguramente, la mayor potencia de x en ambas partes de la expresión original es $x^{48}$ donde k es igual a 16 y 12, respectivamente. Sin embargo, como hay un signo menos entre las dos partes de la expresión original, éstas se cancelan. La segunda mayor potencia en la parte izquierda se produce cuando k = 15, que es entonces $3 \cdot 15 = 45$ y para el otro es $4 \cdot 11 = 44$ . Para obtener el coeficiente, hacemos lo siguiente:

$$16-k = 45 \Leftrightarrow k = 16-45 = -29$$

$$\binom{16}{-29}(x^3)^{-29}(-2)^{16--29} = \binom{16}{-29}(x^3)^{-29}(-2)^{45}$$

Sin embargo, esto no parece tener mucho sentido. Nunca antes había visto un número negativo (por ejemplo, -29) en una expresión binómica de este tipo.

¿En qué me he equivocado y cuáles son otros enfoques productivos de esta cuestión?

Answer 1

Escribir los coeficientes binomiales es el enfoque correcto en este caso. Como habrás observado, los términos principales (los de mayor potencia) en ambos $(x^3-2)^{16}$ y $(x^4+ 3)^{12}$ son iguales a $x^{48}$ por lo que se anulan. El segundo término de la expansión de $(x^3-2)^{16}$ es $\binom {16} 1 (x^3)^{15}(-2)^1 = -32x^{45}$ y en la expansión de $(x^4+ 3)^{12}$ es $\binom{12} 1(x^4)^{11}3^1 = 36x^{44}$ por lo que podemos concluir que $$ (x^3-2)^{16} - (x^4+ 3)^{12} = -32x^{45} -36x^{44} + \text{something of lesser degree}$$ y obtendrás tu respuesta. Lo que hiciste mal en el segundo enfoque es que no es $16 - k = 45$ pero $3(16-k) = 45$ ya que tienes $(x^3)^{16-k}$ .

Answer 2

La respuesta que das sugeriría que están buscando el término con mayor potencia, en lugar del término con mayor coeficiente. Este término procede del primer paréntesis, ya que el término de mayor potencia del segundo paréntesis es $36x^{44}$ una vez que haya cancelado el $x^{48}$ plazo.

Answer 3

Su planteamiento es casi correcto. Comenzamos con algunas consideraciones bastante detalladas de la primera expresión binomial.

\begin{align*} (x^3-2)&^{16} = \sum_{k=0}^{16}\binom{16}{k}(x^3)^k(-2)^{16-k}\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^{16}\binom{16}{k}x^{3k}(-2)^{16-k}\tag{2}\\ &=\sum_{k=0}^{16}\binom{16}{16-k}x^{3(16-k)}(-2)^{16-(16-k)}\tag{3}\\ &=\sum_{k=0}^{16}\binom{16}{k}x^{48-3k}(-2)^{k}\\ &=\binom{16}{0}x^{48}(-2)^0+\binom{16}{1}x^{45}(-2)^1+\binom{16}{2}x^{42}(-2)^2+\cdots+\binom{16}{16}x^0(-2)^{16}\\ &=x^{48}-32x^{45}+4\binom{16}{2}x^{42}+\cdots+2^{16}\tag{4}\\ \end{align*}

Comentario:

• En (1) aplicamos el teorema del binomio

• En (2) simplificamos la expresión utilizando la regla $(a^{b})^c=a^{bc}$

• En (3) utilizamos el pequeño truco de intercambiar el índice $k$ con $16-k$ que, de hecho, no es más que una reordenación de los sumandos, de modo que el más alto poder de $x$ es ahora el primer sumando con el índice más bajo $k=0$ . De esta forma podemos escribir la suma con potencias decrecientes de $x$ sólo por comodidad. Este truco no es fundamental para este ejemplo, pero suele ser útil para simplificar los cálculos.

• En (4) nos centramos en los términos con las potencias más altas de $x$

Procedemos de forma similar con la otra expresión binómica.

\begin{align*} (x^4+3)^{12}&= \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k}(x^4)^k3^{12-k}\\ &= \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k}x^{4k}3^{12-k}\\ &= \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k}x^{48-4k}3^{k}\tag{5}\\ &=\binom{12}{0}x^{48}3^0+\binom{12}{1}x^{44}3^1+\binom{12}{2}x^{40}3^2+\cdots+\binom{12}{12}x^{0}3^{12}\\ &=x^{48}+36x^{44}+9\binom{12}{2}x^{40}+\cdots+3^{12} \end{align*}

Comentario:

• En (5) volvemos a intercambiar el orden de los sumandos intercambiando $k$ con $12-k$

Por último, consideremos la diferencia:

\begin{align*} (x^3-2)&^{16} - (x^4+3)^{12}\\ &=(x^{48}-32x^{45}+4\binom{16}{2}x^{42}+\cdots+2^{16})\\ &\quad-(x^{48}+36x^{44}+9\binom{12}{2}x^{40}+\cdots+3^{12})\\ &=-32x^{45}+\text{lower order terms} \end{align*}

Conclusión: El término de mayor potencia es $-32x^{45}$ .

Answer 4

Utilizando la expansión binómica, se ve que los términos de mayor grado de $(x^3-2)^{16}$ y $(x^4+3)^{12}$ cancelar.

El polinomio $(x^3-2)^{16}$ es un polinomio en $x^3$ y el polinomio $(x^4+3)^{12}$ es un polinomio en $x^4$ por lo que el segundo mayor término de $(x^3-2)^{16}$ tiene grado $45$ y el segundo mayor término de $(x^4+3)^{12}$ tiene grado $44$ . Por lo tanto, podemos descartar $(x^4+3)^{12}$ y centrar nuestra atención en $(x^3-2)^{16}$ .

La expansión binomial de $(x^3-2)^{16}$ comienza con $$ x^{48} + \binom{16}{1} (-2)^1 x^{45} + \cdots $$ por lo tanto su respuesta es $-32 x^{45}$ .

Espero que le sirva de ayuda,