Para qué valores de la ecuación a $y=ax^2$ es tangente a $y=\ln(2x)$

Question

Para qué valores de la ecuación a $y=ax^2$ es tangente a $y=\ln(2x)$

Hola, he intentado resolver esta pregunta y no puedo continuar.

$$y=ax^2\\ y=\ln(2x)$$

Lo que he hecho hasta ahora es $d/dx$ de $y=ax^2$ $\to$ $2ax=\ln(2x)$ Ahora no sé si $d/dx(\ln(2x))$
¿Qué sugieres?
Gracias.

Answer 1

Queremos que la línea tangente a $y=ax^2$ en algún momento $(p,q)$ sea la misma línea que la tangente a $y=\ln(2x)$ en $(p,q)$ .

La línea tangente a $y=ax^2$ en un punto general $(x,y)$ en la curva tiene pendiente $\frac{d}{dx}(ax^2)=2ax$ . Del mismo modo, la línea tangente a $y=\ln(2x)$ tiene pendiente $\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$ .

Para las rectas tangentes a las dos curvas en $(p,q)$ sean iguales, necesitamos que las pendientes sean iguales, así que necesitamos $$2ap=\frac{1}{p}.\tag{$ 1 $}$$ El punto $(p,q)$ debe estar en ambas curvas, por lo que también necesitamos $$q=ap^2\qquad\text{and}\qquad q=\ln(2p).\tag{$ 2 $}$$ Tenemos tres ecuaciones en $3$ incógnitas $a$ , $p$ y $q$ y hay que resolver para $a$ .

A partir de la ecuación $(1)$ y la primera ecuación de $(2)$ obtenemos $q=\frac{1}{2}$ . Entonces a partir de la segunda ecuación en $(2)$ obtenemos $\ln(2p)=\frac{1}{2}$ y por lo tanto $p=\frac{1}{2}e^{p/2}$ ,

Por último, puesto que de $(1)$ tenemos $a=\frac{1}{2p^2}$ podemos calcular $a$ .

Answer 2

Hay 4 soluciones (4 puntos de intersección):

1. $a \neq 0$ y $Im(W_{-1}(\frac{-a}{2})) \gt -2 \pi$ y $x=\frac{1}{2} e^{\frac{-1}{2}W_{-1}(\frac{-a}{2})}$ y $y=\frac{1}{4}a$ $e^{W_{-1}(\frac{-a}{2})}$

2. $a \neq 0$ y $x=\frac{1}{2} e^-{\frac{W(\frac{-a}{2})}{2}}$

3. $a\neq0$ y $Im(W_{-1}(\frac{-a}{2})) \lt 2\pi$ y $x=\frac{1}{2}e^{\frac{-1}{2}W_1(\frac{-a}{2})}$ y $y=\frac{1}{4}ae^{-W_1(\frac{-a}{2})}$

4. $a=0$ y $x=\frac{1}{2}$ y $y=0$

où $W_k$ es Función Lambert W .

Answer 3

Voy a lanzar mi sombrero aquí, porque en realidad sólo hay dos incógnitas y dos ecuaciones. Las curvas son tangentes en su único punto de intersección en el primer cuadrante. Queremos que las funciones sean iguales allí:

$$a x^2 = \ln(2x),$$

y que sus pendientes también sean iguales allí:

$$2 a x = \frac{1}{x}.$$

La ecuación de derivadas nos da $x^2 = \frac{1}{2a}$ . Insertando esto en la ecuación de las funciones se obtiene

$$ a \cdot (\frac{1}{2a}) = \ln( 2 \cdot (\frac{1}{2a})^{1/2}) \Rightarrow \frac{1}{2} = \ln 2 - \frac{1}{2}\ln(2a) $$

$$\Rightarrow \ln a = (2 \ln 2) - (\ln 2) - 1 \Rightarrow a = e^{(\ln 2) - 1 } = \frac{2}{e} \approx 0.7358 . $$

De hecho, un gráfico parece confirmarlo. El punto tangente (x,y) no tiene un valor ordenado; aún no lo he resuelto, ya que no se me pidió.

EDIT: La ecuación definitoria de $x$ es $x^2 - \frac{e}{2} \ln x = \frac{e}{2} \ln 2$ . [Un poco de tiempo con el método de Newton indica que el punto tangente es aproximadamente $(0.805,0.477)$ .]

ADDENDUM (realizado unas horas más tarde): Me picó la curiosidad sobre una generalización de esto. Para $y = ax^n$ tangente a $y = \ln (kx)$ [ $n$ y $k$ siendo enteros positivos], encontramos que $a = \frac{k^{n}}{ne} $ y la posición del punto tangente se obtiene a partir de

$$x^n - (\frac{ne}{k^n}) \cdot \ln x = \frac{ne}{k^n} \cdot \ln k . $$