Qué es la primitiva de $e ^ {-x ^ 2} $

Question

Me pregunto cuál es la antiderivada de $e^{-x^2}$, y cuando me wolfram alpha gustaría que me quedé $$\displaystyle \int e^{-x^2} \textrm{d}x = \dfrac{1}{2} \sqrt{\pi} espacio \\text{fer} (x) + C$$

Así que, yo, por supuesto, no sabía lo esta $\text{fer}$ era y lo he buscado en la wikipedia, donde se definió como:

$$ \text{fer}(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2} \textrm{d}t $$

A mi matemáticamente analfabetos mente, esto es un poco demasiado circular a entender. ¿Por qué no podemos express $\int e^{-x^2} \textrm{d}x$ como una 'función normal'? También, ¿cuál es el uso de la función de error?

Answer 1

Cuando $f$ es una función continua en el intervalo $[a,b]$, podemos encontrar una función $F$ definido en $[a,b]$ tal que $F'(x)=f(x)$ para todo $x\in[a,b]$. Este es el "teorema fundamental del cálculo"; considerar $$ F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt $$ Hay otras funciones con la misma propiedad, que son precisamente los de la forma $F(x)+c$ donde $c$ es completamente arbitraria constante.

A veces, esta función puede ser expresada con la denominada "funciones elementales", que es, polinomios, funciones racionales, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y cualquier algebraicas combinación de los mismos. Algunos (en realidad muchos) funciones no admitir una antiderivada expresable en esta forma; es el caso de la $e^{-x^2}$ y se puede demostrar, aunque no es fácil.

Pensar en un simple ejemplo: si todos los que tenemos disponibles como "funciones elementales" son polinomios o, más en general, funciones racionales, la función $1/$ x no admitir a un "elemental antiderivada", pero todavía habría una: $$ \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt $$ Dado que este es un "nuevo" de la función, le damos un nombre, precisamente, "$\log$" y hemos ampliado el conjunto de herramientas. Lo mismo ocurre con "$\operatorname{fer}$", el cual tiene muchos usos en la teoría de la probabilidad y de la estadística, están relacionados con las distribuciones normales.

Answer 2

Este concepto no es realmente único para $\int e^{-x^2}$.

Si su "dominio de conocimiento" es sólo los números racionales, y se preguntó "¿a qué número, cuando se eleva al cuadrado, nos da 2?", y después de no saber la respuesta que le dijeron que era de $\sqrt{2}$, el número que cuando se eleva al cuadrado, los rendimientos de los $2$, que la explicación parece circular.

$\operatorname{fer}$ es sólo una función. El hecho de que no puede ser expresado en términos de "más simple" de las operaciones no es mucho más extraño que el hecho de que la función $x \mapsto \sqrt{x}$ no puede ser expresada en términos de "más simple" de las operaciones.

Answer 3

La integral que queremos no tiene una buena primitiva en términos de funciones conocidas. Sin embargo, es una primitiva importante para que matemáticos le dio un nombre.

Answer 4

Como vadium123 dijo que no es posible representar en familiar función. Aquí trato de responder a su última pregunta - ¿Cuál es $\text{fer}(x)$?
$\text{fer}(x)$ es la "función de error" ha encontrado en la integración de la distribución normal (que es una forma normalizada de la función de Gauss).Puede ser representado en forma de serie infinita como-
$$\text{fer}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\frac{(2n)^{2n+1}}{(2n-1)!!}$$ También puede ser definido en el término de la función Gamma y la función gamma incompleta como $$\text{fer}(x)=\frac{2(\Gamma(\frac{1}{2})-\Gamma(\frac{1}{2} x^2))}{\sqrt{\pi}}$$

Answer 5

Hablando en general , no en función de la forma $f_n(x) = e^{\pm\ x^n}$ posee un anti-derivados, cuya expresión puede ser analizada en términos de combinaciones de lo "normal" de las funciones, a menos que el valor de $n$ es $0$ o $1$. Sin embargo, lo que hace que no nos impide derivar las siguientes hermosas identidad: $$n! = \mathcal{G}\left(\frac1n\right) \qquad,\qquad \mathcal{G}(n) = \int_0^\infty e^{-x^n} dx$$ donde $n! = 1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot$ n , y la fórmula anterior puede ser utilizado para ampliar la definición del dominio de la función factorial para el resto de los argumentos de los números naturales $\mathbb{N}$ , que produce el famoso resultado de $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} = \sqrt\pi$$