Encontrar $\lim_{n \to \infty}E\left(\frac{|\overline X_n|}{|\overline X_n| + 1}\right)^2$

Question

Sea $\{X_i\}$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d. con media $0$ y varianza $\sigma^2 > 0$ . Calcule $$\lim_{n \to \infty}E\left(\frac{|\overline X_n|}{|\overline X_n| + 1}\right)^2$$

Por favor, ayuda, he probado la expansión y el teorema de Markov. No funciona.

Answer 1

Divide el numerador y el denominador de la fracción por $n$ . Por SLLN se ve que la relación tiende a $1$ . Además, la fracción está limitada por $1$ . Por lo tanto, por DCT vemos que el límite es $1$ .