Número mínimo de puntos necesarios para estimar el valor de la integral

Question

Encuentre el menor número de puntos necesarios para estimar el valor de $$\int_{0}^{1} sin(x^2\pi)dx$$ con un error inferior a $10^{-8}$ utilizando el método Simpson compuesto. En la estimación n utilice el máximo absoluto de la derivada correspondiente de $(1+x^2)^{-1}$

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En este caso encontraría el máximo de la cuarta derivada de $sin(x^2\pi)$ y, a continuación, introdúzcalo en la siguiente fórmula para el error Simpson compuesto: $ 10^{-8} $ $\dfrac {|f^4|(b-a)h^4}{180} $ y resolver para h . Entonces, utilizaría $h= \dfrac{(b-a)}{n}$ donde n es el número de puntos, y resolver para n para obtener el número de puntos.

SIN EMBARGO, la última frase de la pregunta me confunde porque no sé qué significa utilizar el máximo absoluto de la derivada correspondiente para n .

Answer 1

Podría ser más fácil que un cálculo directo de la secuencia de expresiones derivadas para encontrar el coeficiente de $s^4$ en $f(x+s)=\sin(\pi(x+s)^2)$ . \begin{align} \sin(\pi x^2 + \pi(2x+s)s) &=\sin(\pi x^2)\cos(\pi(2x+s)s)+\cos(\pi x^2)\sin(\pi(2x+s)s) \\ &=\sin(\pi x^2)\left[1-\frac12\pi^2(2x+s)^2s^2+\frac1{24}\pi^4(2x)^2s^4+O(s^5)\right] \\&\qquad +\cos(\pi x^2)\left[\pi(2x+s)s-\frac16\pi^3(2x+s)^3s^3+O(s^5)\right] \end{align} Así \begin{align} \frac1{24}f^{(4)}(x) &=\sin(\pi x^2)\left[-\frac12\pi^2+\frac1{24}\pi^4(2x)^2\right] +\cos(\pi x^2)\left[-\frac12\pi^3(2x)^2\right] \\ |f^{(4)}(x)|&\le4\pi^2\sqrt{(3-\pi^2x^2)^2+(12\pi x^2)^2} \\ &\le4\pi^2\sqrt{9+138\pi^2+\pi^4}\le160\pi^2\le1600 \end{align} dando $n\sim \sqrt[4]{10^8\cdot 1600/180}\le100\cdot\sqrt{3}\le 175$ . Una estrategia adaptativa encuentra una secuencia de $147$ nodos con un paso mínimo de $0.00390625$ ( $n=256$ si se rellena) suficiente para obtener esta precisión.