¿Cuál es la explicación más acertada de la paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón?

Question

He oído que la paradoja de Zenón "Aquiles y la Tortuga" se resuelve utilizando el concepto de límite de las matemáticas, es decir, se suma el coste del tiempo en cada subcarrera, que tiene un límite, no es ilimitado, por lo que Aquiles puede alcanzar finalmente a la Tortuga.

Esa resolución se basa en dos supuestos:

1. el tiempo de recuperación es igual a la suma de una serie
2. la serie es convergente y la suma de las series es un número limitado

El segundo supuesto puede demostrarse estrictamente en matemáticas. Pero, ¿cómo demostrar el primer supuesto?

Answer 1

Creo que la suposición se desprende del análisis del movimiento antes de la captura. Vemos que se divide en etapas.

Etapa 1: Aquiles corre hacia el punto de partida de la Tortuga $A_1$ , la Tortuga corre hacia adelante. En el momento en que Aquiles logra $A_1$ termina la Fase 1 y comienza la Fase 2. En este momento la Tortuga se encuentra en el punto $A_2$ .

Etapa 2: Aquiles corre hacia $A_2$ , la Tortuga corre hacia adelante. En el momento en que Aquiles logra $A_2$ La Etapa 2 termina y comienza la Etapa 3. En este momento la Tortuga se encuentra en el punto $A_3$ .

Y así sucesivamente...

La construcción de las etapas muestra que cada una de ellas sucede antes de la captura. Es un punto de vista sorprendente sobre un movimiento habitual, pero parece razonable. Por lo tanto, tenemos que el tiempo de captura $T_C $ es al menos la suma $T_\infty=\sum T_n $ de la serie de las duraciones de las etapas $T_n$ .

Para demostrar la suposición queda demostrar que una desigualdad estricta $T_C>T_\infty$ es imposible. De hecho, supongamos lo contrario, que después de un tiempo $T_\infty$ Aquiles sigue detrás de la Tortuga. Esto significa que una distancia $d_\infty$ entre ellos es distinto de cero. Sea $d_0$ sea la distancia inicial entre Aquiles y la Tortuga. Como Aquiles es más rápido que la Tortuga, la $q=v_A/v_T$ de sus velocidades es mayor que $1$ y la distancia entre ellos disminuye. Pero por inducción podemos demostrar fácilmente que la distancia $d_n$ entre Aquiles y la Tortuga después de la Etapa $n$ es $d_0/q^n$ . Desde $q>1$ existe $n$ tal que $d_0/q^n<d_\infty$ . Pero esto es imposible, porque la distancia entre Aquiles y la Tortuga disminuye y el final de la Etapa $n$ sucede antes $T_\infty$ .

Answer 2

Añadiré una respuesta que sonará descarada pero que, insisto, da en el clavo:

Preguntas por qué "el tiempo de recuperación es igual a la suma de una serie".

Bien:

A) El tiempo se mide en números reales .

B) Números reales están bien definidos en matemáticas: Son, con un disfraz u otro, "ciertas sumas de series". Por eso definimos los números reales de la forma en que lo hacemos, normalmente mediante secuencias de Cauchy o cortes de Dedekind, que pueden traducirse como "este número real es (entre otras muchas cosas) esta suma de una serie".

Para filósofos y físicos, las definiciones matemáticas exactas de los números reales pueden parecer técnicas; pero nosotros las apreciamos y alabamos como un avance importante, porque son coherentes y hacen desaparecer la paradoja. Observa las dos formas de calcular el tiempo que Aquiles pasa junto a la Tortuga en la respuesta de dwolfeu: Dan un resultado consistente basado en esa teoría consistente de los números reales. Es la definición misma de $\mathbb R$ lo que hace que los resultados de los dos cálculos, uno aparentemente puramente algebraico y el otro aparentemente basado en un límite del cálculo, sean idénticos.

Por supuesto, se puede dudar de A). Se podría decir que nadie ha medido nunca un intervalo de tiempo de $12\pi$ segundos o $\sqrt {15}$ horas (o: tal vez a veces debería salir como $-4i$ días). Me parece justo (aunque entonces añadiría, ¿alguien ha medido alguna vez de verdad y fuera de toda duda un intervalo de tiempo de $\frac{15}{17}$ minutos). Sin embargo, en todos los experimentos reales, todos los "Aquiles" han superado realmente a todas las "Tortugas" en tiempos que hasta la precisión de medida posible coincidían con lo que daba el modelo matemático de los números reales. Y, sinceramente, ¿qué más se puede pedir?

Answer 3

Imagina que te plantean el siguiente problema de deberes:

Problema. Aquiles y la Tortuga se mueven a lo largo de la misma línea recta en la misma dirección. Aquiles se mueve a 10 m/s y la Tortuga a 0,1 m/s. En $t=0$ la Tortuga está 100 m por delante de Aquiles. Deja que $T$ sea el tiempo de recuperación, es decir, el tiempo en el que Aquiles y la Tortuga se encuentran. ¿Cuál es el valor de $T$ ?

Solución 1. En $t=T$ Aquiles habrá recorrido 100 m más que la Tortuga. Distancia = velocidad $\times$ tiempo, así llegamos a la ecuación $10 \cdot T = 0.1 \cdot T + 100$ . Reordenamos para obtener $T=\frac{100}{9.9}\,\text{s}$ .

Solución 2. Hagamos una partición $T$ en partes y sumarlas. Deja que $T_1$ es el momento en el que Aquiles ha alcanzado el punto de partida de la Tortuga (por lo que $T_1=10$ ) y en general que $T_{n+1}$ es el tiempo transcurrido entre el desplazamiento de Aquiles desde su posición en $t = \sum_{i=1}^n T_i$ a la posición de la Tortuga en $t = \sum_{i=1}^n T_i$ . Entonces $T_{n+1} = \frac{0.1\cdot T_n}{10}=10^{-2} \cdot T_n$ y una inducción directa demuestra que $T_n = 10^{3-2n}$ . Podemos utilizar el fórmula de una serie geométrica para sumar la suma infinita: \begin{equation*} T = \sum_{i=1}^\infty T_i = \sum_{i=1}^\infty 10^{3-2i} = 10^3\cdot\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n\left(10^{-2}\right)^i = 10^3 \cdot \left(\frac{1}{1-10^{-2}}-1\right) = \frac{100}{9.9} \,\text{s} \end{equation*}

Observaciones. He elegido unos números concretos (100 m, 10 m/s, 0,1 m/s) para facilitar los cálculos y hacerlos más comprensibles, pero los cálculos se generalizan directamente para demostrar las dos hipótesis de la pregunta de la OP. La solución 2 es, por supuesto, la paradoja de Zenón, pero sin mencionar la palabra "paradoja". Es una forma legítima de dividir $T$ de la misma manera que es legítimo dividir la unidad y escribir $1=0.\dot{9} = \sum_{i=1}^\infty \frac{9}{10^i}$ . Por último, nótese que la paradoja de Zenón habla de Aquiles siempre estar detrás de la Tortuga. La palabra "siempre" es un adverbio temporal y en el contexto de la paradoja el tiempo es $T_i$ que desaparece. No hay tiempo "exterior".

Answer 4

Tanto Aquiles como la tortuga pasan por un continuo de puntos. En cualquier intervalo, hay infinitos puntos por los que cada uno debe pasar. Cada punto tiene longitud cero, por lo que no se tarda nada en atravesarlo.

Así que, sí, Aquiles debe pasar por el punto medio, luego por el punto medio, etc. y por infinitos puntos definidos de este tipo, y esto no es un problema.

Answer 5

La resolución es que el enunciado de la paradoja contiene una premisa falsa.

En una carrera, el más rápido nunca puede adelantar al más lento, ya que el perseguidor debe llegar primero al punto de partida del perseguido, de modo que el más lento siempre debe mantener la ventaja.

el perseguidor debe llegar primero al punto de partida del perseguido es incorrecto. Es falso que esto deba ocurrir primero . Afirmar que lo hace sugiere que uno se mueve primero y luego el otro, pero esto no es lo que ocurre. Ambos se mueven al unísono y el perseguidor llega al punto donde en el perseguido comenzó en el momento exacto del fallecimiento, no antes.

Se puede pensar en la punto de inicio de la persecución como punto intermedio $b$ en el apretón de $a<b<c$ . En $a$ se acerca a $c$ por lo que debe $b$ y no hay necesidad de $a$ alcanzar $b$ antes de que alcance $c$ .