Problema :
Cómo encontrar la suma de esta serie : $1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}$
Esta es una progresión Armónica : Así es esta fórmula correcta a la suma de la serie :
$\frac{(number ~of ~terms)^2}{sum~ of~ all ~the~ denominators}$
$\Rightarrow $ si $\frac{1}{A} + \frac{1}{B} +\frac{1}{C}$ están en H. P.
Por lo tanto, la suma de la serie puede ser escrita como :
$\Rightarrow \frac{(3)^3}{(A+B+C)}$
Es esto correcto, por favor, sugieren.. Gracias...
La expresión exacta para $\displaystyle H_n:=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\ +\frac{1}{n} $ no se conoce, pero se puede estimar $H_n$ por debajo de
Consideremos el área bajo la curva de $\displaystyle \frac{1}{x}$ al $x$ varía de $1$$n$.
Ahora tenga en cuenta que $\displaystyle H_{n}-\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\ +\frac{1}{n-1}$ es una sobrestimación de esta área de los rectángulos. Ver más abajo
Y $\displaystyle H_n-1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\ +\frac{1}{n} $ es una subestimación de la zona. Ver más abajo
Por lo tanto $$\gran H_n-1<\int_{1}^n\frac{1}{x}dx<H_n-\frac{1}{n}\\ \Rightarrow \ln n+\frac{1}{n}<H_n<\ln n+1$$
También, Euler descubrió esta hermosa propiedad de número armónico $H_n$ que $$\large \lim_{n\rightarrow \infty}\left(H_n-\ln n\right)=\gamma\approx 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992…$$ $\gamma$ es llamado el de Euler-Mascheroni constante.
Que la fórmula no es correcta la suma de los primeros términos de la serie armónica. Tratando de que incluso con los tres primeros significaría que $$\frac{3^2}{1+2+3} = \frac{9}{6} = 1.5 \neq \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$.
La serie armónica en realidad diverge, por lo que la suma de la serie como dejamos $n$ obtener grandes no existe... sin embargo, puede obtener sumas parciales como la armónica de los números, sin embargo esto es algo fuera del ámbito de aplicación del álgebra/precálculo tema que aparece bajo. Usted puede encontrar más información aquí.
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