Utilización del teorema del valor intermedio (tal vez)

Question

No estoy seguro de si el IVT debe aplicarse aquí. Estoy tratando de hacer este problema y estoy atascado un cómo proceder:

Supongamos que $f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y cumple $f(-1)=f(1)$ . Demostrar que existe $y \in [0,1]$ tal que $f(y)=f(y-1)$ .

Hasta ahora, he considerado una nueva función $g(x)=f(x)-f(x-1)$ , $x \in [0,1]$ pero estoy atascado después de esto.

Answer 1

Utilizando el hecho de que $f(1)=f(-1)$ tenemos
$g(0)=f(0)-f(-1)=f(0)-f(1)$
$g(1)=f(1)-f(0)=-[f(0)-f(1)]$

Así que.., $g(0)$ y $g(1)$ tienen signos opuestos. Por continuidad de $g$ debe tener una raíz en $[0,1]$ por lo que existe $y \in [0,1]$ tal que $g(y)=0$ es decir $f(y)=f(y-1)$ .

Answer 2

Tenemos $g(x)=f(x)-f(x-1)$ , $g$ es continua porque es una suma de funciones continuas, ahora si $$g(0)=f(0)-f(-1) = 0$$ hemos terminado, de lo contrario, si $$g(0) > 0$$ porque $g(1) = g(-1)$ también sabemos que $$g(1) < 0$$ entonces por continuidad y la IVT hay alguna $c \in [0,1]$ tal que $$g(c) = 0$$ y ya está, el otro caso ( $g(0) < 0$ tiene la misma prueba)