Hopkins-Levitzki: ¿una asimetría insólita?

Question

No todas las izquierdas Noetheriano anillo queda Artiniano . Toma $\mathbb{Z}$ como ejemplo rápido.

Pero..:

Teorema de Hopkins-Levitzki un anillo artiniano de izquierdas es noetheriano de izquierdas.

Me parece asombroso. Encuentro esta asimetría chocante. Parece simplemente irrazonable que hay anillos donde toda cadena ascendente de ideales se estabiliza pero no toda descendente cadena se estabiliza, y al mismo tiempo todo anillo con cadenas descendentes estabilizadoras tiene estabilizadoras ascendente cadenas.

Sé que abundan las asimetrías en la teoría de anillos/módulos, pero ésta me parece más elemental y extraña.

Mi pregunta es:

Por qué ¿Ocurre esto?

Por supuesto, esta pregunta es a nivel informal; no estoy pidiendo una demostración del teorema. Sólo quiero entender por qué una condición de la cadena implica la otra, pero no al revés. A primera vista, parece tan simétrico que habría esperado que las condiciones fueran equivalentes o que ninguna de ellas implicara a la otra.

Mi primera observación, muy ingenua, es que para los anillos noetherianos tenemos la caracterización "todo ideal está finitamente generado", pero para los anillos artinianos no existe (que yo sepa) un análogo sencillo, lo que quizá sea la primera chispa de una asimetría...

Answer 1

Espero que estés de acuerdo en que basta con explicar la asimetría en el caso conmutativo : si los conceptos artiniano y noetheriano son asimétricos allí, la simetría no puede restaurarse considerando anillos no conmutativos.
Y en el caso conmutativo creo que la geometría algebraica viene al rescate.

En la traslación geométrica desde el anillo $R$ al esquema afín $Spec(R)$ noetheriano significa que toda secuencia decreciente de subesquemas cerrados es estacionaria, lo cual es bastante razonable, y artiniano significa que toda secuencia creciente de subesquemas cerrados es estacionaria, lo cual es muy poco razonable o al menos muy, muy especial.

Para verlo intuitivamente, basta considerar una variedad algebraica $V$ sobre un campo y buscar subvariedades $W\subset V$ .
Está bastante claro que no se puede visualizar una secuencia decreciente infinita $V\supsetneq W_1 \supsetneq W_2\supsetneq $ de variedades cerradas. Esta incapacidad es noetherianismo en funcionamiento.
Por otro lado, se puede visualizar fácilmente una secuencia creciente de subvariedades: basta con tomar conjuntos finitos: $\lbrace P_1\rbrace \subsetneq \lbrace P_1,P_2\rbrace \subsetneq \lbrace P_1,P_2, P_3\rbrace, ... $ . Esta capacidad es no -artinianidad en el trabajo.

Así que véase que noetheriano y artiniano son conceptos completamente asimétricos .

Por último, el caso artiniano muy, muy especial al que aludíamos antes es cuando $V$ es sólo un conjunto finito para empezar.
En ese caso, obviamente no puedes tener infinitas secuencias estrictamente crecientes de subvariedades, sino "aún menos" infinitas secuencias decrecientes ("aún menos" se supone vagamente que ilustra que artiniano implica noetheriano).

Editar Como comenta muy pertinentemente Keenan, aunque en un anillo noetheriano se puede tener una secuencia infinita estrictamente decreciente de ideales, éstos no pueden ser todos primos.
Geométricamente se puede tener una secuencia estrictamente creciente de subvariedades de $V$ pero no todas pueden ser irreductibles.
La prueba de este resultado (quizás infravalorado) se encuentra en el libro de Eisenbud, Corolario 10.3 aquí [Google permite leer gratuitamente todo lo que rodea a este resultado].

Answer 2

He transplantado esto de una pregunta que luego marqué como duplicado de ésta.

Existe una versión más nítida del Teorema de Hopkins-Levitzki-Akizuki lo que explica por qué Noetheriano=Artiniano sobre anillos semiprimarios.

El resultado es que $R/J(R)$ es semisimple, se puede construir un candidato a serie de composición para $M$ (al principio no se sabe si es finito o no), y luego como $J(R)$ es nilpotente, la serie es finita, por lo que realmente se tiene una serie de composición.

Ahora bien, si un anillo es artiniano derecho, implica convenientemente que $R$ es semiprimaria, por lo que se puede concluir enseguida que es noetheriana derecha.

Pero, ¿por qué esa asimetría? ¿Por qué no es cierto lo contrario? No soy capaz de dar una respuesta concreta, pero sí una intuición.

Quizá parte de ello tenga que ver con la identidad, o algo parecido. Después de todo, se puede obtener un rng que sea artiniano pero no notheriano si se toma un grupo abeliano de este tipo y se define que el producto de todos los pares es cero.

Exigir que un anillo tenga identidad es una especie de condición de finitud. Es la razón por la que los anillos con identidad tienen ideales derechos máximos, pero no ayuda a encontrar ideales derechos mínimos. En cierto sentido, es una condición noetheriana muy débil: "la colección de ideales propios tiene un elemento maximal" frente a "toda colección no vacía de ideales propios tiene un elemento maximal".

Podría ser que "Artiniano + 1" sea suficiente para "coger los dos sentidos" ascendente y descendente de una serie con factores simples, por lo que tiene que ser finita, de ahí que sea noetheriana. Tal vez "Noetherian + 1" sólo trabajan juntos tanto para coger la dirección "hacia arriba" de la serie de composición, pero no hacen nada para la dirección "hacia abajo".