¿Por qué no se atribuye a Dirac el descubrimiento del efecto Aharonov-Bohm?

Question

Por encima de la ecuación (8) de Dirac famoso artículo de 1931 en el que propone su condición de cuantización para los monopolos magnéticos, dice que "el cambio en la fase [de un electrón] alrededor de [una] curva cerrada [es] $2 \pi n + e/\hbar c \int {\bf H} \cdot d{\bf S}$ ." Esto suena como el Efecto Aharonov-Bohm a mí. Y entendió claramente que el efecto seguiría funcionando si el campo magnético desaparece a lo largo de la trayectoria del electrón, porque todo su argumento sobre la cuantización de la carga magnética se reduce a que "los monopolos magnéticos pueden considerarse como puntos finales de ". infinitamente delgado tubos de flujo magnético, y los electrones no pueden captar una fase no trivial mientras dan vueltas alrededor de estos tubos de flujo, incluso desde muy lejos". Entonces, ¿por qué el artículo de Wikipedia atribuye el descubrimiento del efecto a Ehrenberg y Siday en 1949, y luego a Aharonov y Bohm en 1959?

Answer 1

El descubrimiento de Dirac de la cuantización de la carga magnética es distinto del efecto Aharonov-Bohm. Estos efectos dependen de propiedades topológicas diferentes del colector en el que se mueve una partícula cargada. El efecto Aharonov-Bohm aparece en variedades con un primer grupo de cohomología no evanescente $H^1(M)$ , mientras que la condición de cuantización de Dirac tiene lugar cuando el segundo grupo de cohomología $H^2(M)$ no es trivial. Véase, por ejemplo, V.P. Nair's nota de clase s sección 4 (páginas 15-19).

De hecho, estos dos efectos se combinan para constituir todos los tipos de cuantización posibles de una partícula cargada que se desplaza sobre una variedad.

Es cierto (en ambos casos) que cuando una partícula cargada se mueve en una trayectoria $\Gamma$ en el colector $M$ , su función de onda adquiere una fase geométrica de

$$e^{\frac{ie}{\hbar c} \int_{\Gamma}\mathbf{A}. d\mathbf{r}}$$

Sin embargo, las consecuencias son diferentes. En el primer caso (Aharonov-Bohm), el potencial vectorial es proporcional a una forma cerrada pero no exacta $\alpha$ en el colector.

$$A = \frac{\Phi}{2\pi} \alpha$$

Se trata del famoso potencial vectorial del efecto Aharonov-Bohm cuyo campo magnético correspodiente desaparece ( $\Phi$ es el flujo magnético).

$$B = dA = \frac{\Phi}{2\pi} d\alpha = 0$$

Cuando la partícula se mueve sobre un bucle dual a esta forma en homología, es decir, un bucle no contractible, el resultado (por la teorema de Stokes) no dependerá de qué bucle tomemos como representativo:

$$\int_{\Gamma_1}\mathbf{A}. d\mathbf{r} - \int_{\Gamma_2}\mathbf{A}. d\mathbf{r} = \int_S \mathbf{B}.d\mathbf{S} = 0$$

donde $S$ es el área delimitada por $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ .

Además, en el caso especial de que $M=S^1$ (el círculo), en el que

$$\alpha = d\theta$$ ,

(El ángulo a lo largo de la circunferencia).

En este caso, la fase adquirida es:

$$\frac{e \Phi}{\hbar c}$$

Esto significa que dos flujos que difieren en $\frac{2 \pi\hbar c}{e}$ son físicamente equivalentes.

En el segundo caso, cuando: $H^2(M)$ no es trivial, eligiendo una trayectoria cerrada que se encuentre sobre una superficie bidimensional no contráctil. $\Omega$ , nos permite calcular el flujo a través de las dos mitades de la superficie $\Omega_{\pm}$ cuyo límite es la trayectoria cerrada:

$$\Phi_{\pm} = \int_{\Gamma} A_{\pm} = \pm \int_{\Omega_{\pm}} B$$ .

Así, la diferencia de fase adquirida por la función de onda cuando se trabaja utilizando las coordenadas de la mitad superior y la mitad inferior es

$$\frac{e}{\hbar c}(\int_{\Omega_{+}}B + \int_{\Omega_{-}} B) = \frac{e}{\hbar c} \int_{\Omega} B$$

En el caso de un monopolo

$$\int_{\Omega} B = 4 \pi g$$

(La carga magnética).

La diferencia de fase debe ser un múltiplo entero de $2 \pi$ ya que es físicamente equivalente trabajar en las mitades inferior o superior. Así obtenemos la condición de cuantización de Dirac:

$$\frac{eg}{\hbar c} = \frac{n}{2}$$

Obsérvese también que en el presente caso la fase geométrica no es topológica sin