pregunta sobre la estructura uniforme

Question

Debería ser una trivialidad, creo yo.

La topología inducida por una estructura uniforme $\mathcal{U}$ con $\cap \mathcal{U} =\Delta$ donde $\Delta$ es la diagonal, es Hausdorff.

Ahora pienso que si defino la topología del producto $X \times X$ sea tal que los conjuntos cerrados de ella sean los conjuntos que están en el $\mathcal{U}$ , entonces voy a conseguir que $\Delta$ es cerrado como una intersección arbitraria de conjuntos cerrados, y por tanto el espacio $X$ es $T_2$ .

¿Es correcto? (Es que no estoy seguro de que si induzco los conjuntos en $\mathcal{U}$ como conjuntos abiertos en $X \times X$ que se produzca lo anterior).

Answer 1

No necesitas mirar ninguna topología en $X\times X$ ; sólo demuestran la hausdorffidad de $X$ directamente. Sea $x$ y $y$ sean puntos distintos de $X$ . Entonces $\langle x,y\rangle\notin\Delta$ así que hay algo de $U\in\mathcal{U}$ tal que $\langle x,y\rangle\notin U$ . Utilice ahora los axiomas de uniformidad para demostrar que existe una simétrica $V\in\mathcal{U}$ tal que $V\circ V\subseteq U$ y luego demostrar que $V[x]$ y $V[y]$ deben ser nbhds disjuntos de $x$ y $y$ respectivamente.