$\sin 4x +\sqrt{3} \sin 3 x + \sin 2 x=0$

Question

Esta pregunta es de un Prueba de acceso a la VMK 2012

Intentaba resolverlo primero ampliando $\sin 4 x = 2 \sin 2 x \cos 2x$ , entonces al notar que si se divide por 2, se puede obtener, por ejemplo $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3 x = \sin \frac{\pi}{6} \cos 3 x$ y luego tratar de encontrar alguna manera de obtener $\sin (a +b)$ o $\cos (a+b)$ pero sin ningún éxito.

Sospecho que debe haber algo de añadir un término extra y luego multiplicar hacia fuera, pero no puedo conseguir mi cabeza alrededor de él.

Answer 1

Intenté escribir $4x$ como $3x+x$ y $2x$ como $3x-x$ para conseguirlo: $$\sin(3x+x)+\sqrt{3}\sin(3x)+\sin(3x-x)=0$$$$ \Por lo tanto, sin(3x)-cos(x)-cos(3x)-sin(x)-cuadrado3-sin(3x)-sin(3x)-cos(x)-cos(3x)-sin(x)-0 $$$$\therefore2\sin(3x)\cos(x)+\sqrt{3}\sin(3x)=0$$$$ \Por lo tanto, es decir, seno(3x)(2cos(x)+cuadrado{3})=0$$ A partir de aquí se puede resolver...

Answer 2

¿Por qué no añadir $\sin 4x$ y $\sin 2x$ ? Obtendrás $2\sin 3x\cdot \cos x +\sqrt{3}\sin 3x = 0$ ...

Answer 3

Si no ves ningún truco, siempre puedes probar \begin{align*} &\sin(4x)=\text{Im}(\cos x+i\sin x)^4=4\cos^3\!x\sin x-4\cos x\sin^3\!x\\ &\sin(2x)=\text{Im}(\cos x+i\sin x)^3=3\cos^2\!x\sin x-\sin^3\!x\\ &\sin(3x)=\text{Im}(\cos x+i\sin x)^2=2\cos x\sin x. \end{align*} Al conectarlo se obtiene $$(4\cos^3\!x-4\cos x\sin^2\!x+\sqrt3(3\cos^2\!x-\sin^2\!x)+2\cos x)\cdot\sin x=0$$ y se puede resolver el factor de la izquierda fijando $y=\cos x$ \begin{align*} 0&=4y^3-4y(1-y^2)+\sqrt3(3y^2-(1-y^2))+2y=8y^3-4y+\sqrt3(4y^2-1)+2y\\ &=2y(4y^2-1)+\sqrt3(4y^2-1)=(2y+\sqrt3)(2y+1)(2y-1). \end{align*} Estoy seguro de que podrías terminar esto.

Answer 4

Después de aplicar las fórmulas de adición obtenemos esto $$\sin \left( x \right) \left( 8\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{3}+4\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}\sqrt {3}- 2\,\cos \left( x \right) -\sqrt {3} \right) =0$$