Cohomología de variedades Severi-Brauer

Question

¿Qué se puede decir de la estructura de módulo de Galois de $l$ -de una variedad Severi-Brauer sobre un campo local?

En particular, estoy interesado en la prueba de la proposición dada en la parte superior de la 4ª página de este documento Buena reducción, mala reducción ( Enlace arXiv )

Answer 1

Sea $X$ definirse sobre una extensión finita $K$ de $\mathbb Q_p$ . Recordemos que cuando decimos "el $\ell$ -cohom. de $X$ "nos referimos en realidad al cohom. etale, con $\mathbb Q_{\ell}$ -coeffs., del cambio de base $\overline{X}$ de $X$ a $\overline{K} = \overline{\mathbb Q}_p$ . (Y en realidad, tomamos etale cohom. de este cambio de base con $\mathbb Z/\mathbb l^n$ y, a continuación, tomar un límite en $n$ e invertir $\ell$ ; pero no me detendré en este aspecto de las cosas, ya que no es la clave de lo que sigue). El sitio $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ -sobre cohom. es inducida por la acción $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ -acción sobre el cambio de base $\overline{X}$ .

El anillo cohom. de $\mathbf P_n$ es isomorfo a $\mathbb Q_{\ell}[h]/h^{n+1}),$ donde $h$ abarca $H^2$ y la acción de Galois sobre $h$ es a través del carácter ciclotómico inverso.

Si $X$ es una variedad Brauer--Severi, entonces existe una extensión finita $L$ de $K$ para que $X_{L}$ es isomorfo a $\mathbf P_{n/L}$ . En particular, $X$ y $\mathbf P_n$ tienen el mismo cambio de base a $\overline{K}$ y, por tanto, sus cohom. son isomorfos como anillos. Así pues, el anillo cohom. de $X$ también es isomorfo a $\mathbb Q_{\ell}[h]/(h^{n+1})$ con $h$ spanning $H^2$ . Además, $\mathrm{Gal}(\overline{K}/L)$ actúa sobre $h$ a través de la carta ciclotómica inversa.

Desde $h$ abarca $H^2$ de $X$ vemos que $\mathrm{GaL}(\overline{K}/K)$ actúa sobre $h$ a través de algún char.; y necesitamos comprobar que éste es un char unram. Lo que sabemos es que su restricción a $L$ es ciclotómica inversa y, por tanto, unram. (Aquí estoy asumiendo $\ell \neq p$ .)

Pero cualquier alg. central simple sobre $K$ y, por tanto, cualquier Brauer--Severi, tiene un campo de división unram.; en otras palabras, podemos elegir $L$ sea una extensión unram. de $K$ . Así, la acción sobre $h$ es a través de un char. que se convierte en unram. después de restringirse a una extensión unram.; por lo tanto, era unram. para empezar.

En el caso $\ell = p$ el argumento es el mismo, utilizando el hecho de que un char. que se vuelve cristalino (como la inversa del $p$ -adic cyclo. char. is) después de restringir a una extensión unram. ya es cristalina.