Compruebe que $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{i+x}{n}\right)^n=\frac{e^{x+1}}{e-1}$

Question

S $$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i+x}{n}\right)^n=\frac{e^{x+1}}{e-1}$$ ¿Alguna pista sobre cómo puedo solucionar este problema?

Aunque he comprobado en una calculadora de sumas que converge muy lentamente, este resultado me da la razón de que la forma cerrada propuesta es incorrecta. ¿Alguien puede verificarlo?

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Sé que $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+x}{n}\right)^n=e^x$$

El límite a calcular es

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+x}{n}\right)^n+\left(\frac{2+x}{n}\right)^n+\left(\frac{3+x}{n}\right)^n+\cdots$$

Se parece a la serie de números naturales

$$1^n+2^n+3^n+4^n+\cdots$$

Pero esto es lo más lejos que puedo llegar.

Answer 1

Esta solución se basa en los siguientes hechos:

• Para cada número real $t$ , $\left(1+\frac{t}n\right)^n\to e^t$ cuando $n\to\infty$ .
• Para cada número real $t$ , $1+t\leqslant e^t$ .
• Para cada número real $t\geqslant-\frac12$ , $1+t\geqslant e^{t-t^2}$ .

Se pide demostrar que el límite de $$S_n(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i+x}n\right)^n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(1+\frac{x-k}n\right)^n$$ cuando $n\to\infty$ existe y es igual a $$s(x)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{x-k}=\frac{e^{x+1}}{e-1}.$$ Para demostrarlo, obsérvese en primer lugar que $$S_n(x)=S_n(x-1)+\left(1+\frac{x}n\right)^n-\left(\frac{x}n\right)^n,$$ por lo tanto, para cada $x$ , $$\lim_{n\to\infty}\ (S_n(x)-S_n(x-1))=e^x.$$ A continuación, supongamos que $x\geqslant0$ . Entonces, el límite $1+t\leqslant e^t$ válido para cada $t$ y el hecho de que $1+\frac{x-k}n\geqslant0$ para cada $k$ en la segunda suma anterior que define $S_n(x)$ rendimiento $$S_n(x)\leqslant\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{(x-k)/n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n-1}e^{x-k}\leqslant s(x).$$ Del mismo modo, elija algunos $a$ en $(0,1)$ y asumir que $n$ es lo suficientemente grande para $n^{1-a}\geqslant2$ para sostener. Entonces, el límite $1+t\geqslant e^{t-t^2}$ válido para cada $t\geqslant-\frac12$ y el hecho de que $1+\frac{x-k}n\geqslant0$ y que $\frac{x-k}n\geqslant-\frac12$ para cada $k\leqslant n^a$ , juntos producen $$S_n(x)\geqslant\sum_{k=0}^{n^a}\left(e^{(x-k)/n-(x-k)^2/n^2}\right)^n=\sum_{k=0}^{n^a}e^{x-k-(x-k)^2/n}\geqslant e^{-n^{2a-1}}\sum_{k=0}^{n^a}e^{x-k}=e^{-n^{2a-1}}s(x)\left(1-e^{-n^a}\right).$$ Si $a$ está en $(0,\frac12)$ , $e^{-n^{2a-1}}\to1$ y $e^{-n^a}\to0$ Por lo tanto $S_n(x)\to s(x)$ por lo que la afirmación es válida para todo $x\geqslant0$ .

Por último, la afirmación es válida para cada $x$ porque $$s(x)-s(x-1)=e^x=\lim_{n\to\infty}\ (S_n(x)-S_n(x-1)).$$

Answer 2

Tomaremos Taylor serie de $$f_n(x) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{i+x}{n} \right)^n$$

Nuestro objetivo es $\frac{e^{x+1}}{e-1} = A (1+x+\frac{x^2}{2} + \dots)$ donde $A = \frac{e}{e-1}$ .

En $x^0$ El coeficiente de la suma es $$f_n(0) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n} \right)^n$$

Si diferenciamos la suma, obtenemos $$f_n'(x) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{i+x}{n} \right)^{n-1}$$ y en general si diferenciamos $k$ veces obtenemos $$f_n^{(k)}(x) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{i+x}{n} \right)^{n-k} \frac{(n-1) \dots (n-k+1)}{n^{k-1}}$$ Por lo tanto $$\frac{f_n^{(k)}(0)}{k!} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^{n-k} \frac{1}{n^k} \binom{n}{k}$$

Por tanto, obtenemos la serie de Taylor de $f_n$ afirmo que para $k$ arreglado, $\frac{f_n^{(k)}(0)}{k!}$ tiende a un límite a medida que $n \to \infty$ . A partir de este límite, podemos obtener la serie de Taylor de $\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ y comprobar que es igual a la de $\frac{e^{x+1}}{e-1}$ .

A partir de este punto es un esbozo, porque realmente necesito irme a la cama. (Estrictamente hablando, además de rellenar los detalles de abajo, también necesitamos comprobar varias convergencias; por ejemplo, no es cierto en general que tener series de Taylor nulas signifique que la función es cero en todas partes).

El límite de $\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}$ es $\frac{1}{k!}$ ; el límite de $\sum_{i=1}^n \left( \frac{i}{n}\right)^{n-k}$ es la misma para cualquier $k$ y es igual a $\frac{e}{e-1}$ .