Límites de la $H^1$ norma de la solución de la ecuación de Poisson

Question

Problema

Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ sea un dominio acotado con una frontera continua de Lipschitz $\partial \Omega$ Además, dejemos que $f \in L^2(\Omega)$ y $g \in H^{1/2}(\partial \Omega)$ se dará. Sea $u \in H^1(\Omega)$ denotan la solución del siguiente problema de Poisson, $$-\Delta u = f \text{ on } \Omega, \quad u = g \text{ on }\partial \Omega.$$ Deseo construir un límite superior de la $H^1$ norma de $u$ en términos de dominio $\Omega$ Datos límite $g$ y datos de dominio $f$ .

Estado actual

He podido deducir la igualdad

$$\|u\|_{H^1(\Omega)}^2= \left\| u + \dfrac{1}{2}f\right\|_{L^2(\Omega)}^2- \dfrac{1}{4}\|f\|_{L^2(\Omega)}^2+ \oint\limits_{\partial \Omega}g \dfrac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\ dS_x,$$

Sin embargo, no he podido acotar la derivada normal de $u$ . No estoy lo suficientemente familiarizado con la teoría elíptica como para ser capaz de derivar otro límite.

Preguntas

¿Existe algún límite dado en la teoría elíptica para este tipo de problemas? Si no la hay, ¿qué condiciones se requieren para $f$ y $g$ tal que se pueda encontrar un límite uniforme (principio máximo)?

Answer 1

He aquí una posibilidad de tratar la condición de contorno de Dirichlet. Sea $u_g \in H^1(\Omega)$ sea una función con $u_g = g$ en $\partial\Omega$ (en el sentido de traza). Entonces, la función $v := u - u_g$ pertenece a $H_0^1(\Omega)$ y satisface $$ \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla \varphi\,\mathrm{d}x = \int_\Omega f \varphi - \nabla u_g \cdot \nabla \varphi \,\mathrm{d}x . $$ Desde aquí, puede vincular el $H^1$ -norma de $u$ a través de la $H^1$ -norma de $u_g$ y a través del $L^2$ -norma de $f$ . Además, el $H^1$ -norma de $u_g$ puede limitarse mediante $H^{1/2}$ -norma de $g$ .