¿La continuación analítica de $\zeta(s)$ para $s\in\mathbb{C} \ \backslash \ \{1\}$ requieren la fórmula integral de Cauchy?

Question

He visto utilizar la fórmula de la integral de Cauchy para demostrar la continuación analítica de la función zeta de Riemann en todo el plano complejo ( $s\neq1$ ). Mi pregunta es si se puede dar un contraejemplo que no requiera el uso de la fórmula integral de Cauchy en absoluto para lograr la continuación analítica anterior para la función zeta.

Answer 1

Una prueba utilizando el teorema del cero:

Para $s>1$

$$\zeta(s)=\sum_{n\ge 1}n^{-s}=\sum_{n\ge 1}s\int_n^\infty x^{-s-1}dx$$ $$=s\int_1^\infty \lfloor x\rfloor x^{-s-1}dx= \frac{s}{s-1}+s\int_1^\infty f_1(x)x^{-s-1}dx$$ donde $f_1(x)=x-\lfloor x\rfloor$ es uno-periódico.

Dado $f_n$ one-periodic let $c_n=\int_0^1 f_n(x)dx$ y $f_{n+1}(x)=\int_1^x (f_n(y)-c_n)dy$ que vuelve a ser uno-periódico entonces $$(s+n-1)\int_1^\infty f_n(x)x^{-s-n}dx= c_n+(s+n-1)(s+n)\int_1^\infty f_{n+1}(x)x^{-s-n-1}dx$$ es analítica para $\Re(s) > -n$ .

De donde por inducción $\zeta(s)-\frac{s}{s-1}$ está entero.