Grupo de factores del grupo de cuaterniones

Question

J'ai $Q_8=\{I,A,A^2,A^3,B,AB,A^2B,A^3B\}$ donde $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

Ahora echo un vistazo a $Q_8/N$ para todos $N\unlhd Q_8$ (es decir, para qué G existe un isomorfismo $Q_8/N\cong G$ ??)

Sé que $|N|\in\{2,4\}$ . Si $|N|=2$ entonces $N=\{I,-I\}$ y claramente $Q_8/N\cong V$ donde V es el grupo de Klein-Four.

¿Y si $|N|=4$ ?

Answer 1

Vamos a trabajar explícitamente cómo es el cociente por un subgrupo de orden 4. En concreto, hagamos el cociente por $\left<A\right> = \{1,A,A^2,A^3\}$ .

$Q/\left<A\right>$ es, por definición, el conjunto de cosets de $\left<A\right>$ en $Q$ . Como se ha señalado, debe haber dos cosets porque 8/4=2. Uno de estos cosets, $S_1$ contiene los elementos de $\left<A\right>$ y el otro, $S_2$ contiene las sobras: $\{B,AB,A^2B,A^3B\}$ .

Estrictamente hablando, estos dos cosets son los elementos de $Q/\left<a\right>$ . La operación de grupo se define como el producto habitual para dos subconjuntos de un grupo. Si $S$ y $T$ son subconjuntos del grupo $G$ su producto $ST$ se dice que es el conjunto $\{st|s\in S, t\in T\}$ .

Bajo este producto, los dos cosets de $\left<A\right>$ en $Q$ formar un grupo. Puede comprobar directamente que $S_1S_1 = S_2S_2 = S_1$ y $S_2S_1=S_1S_2 = S_2$ . Estas relaciones demuestran que $Q/\left<A\right>$ es cíclico de orden 2.

Este es un ejemplo relativamente poco emocionante. Si hubiera más de dos cosets, habría que calcular varios productos por pares antes de descubrir la estructura del grupo cociente. Dado que $|Q/\left<A\right>|=2$ Sólo había una posibilidad de estructura de grupo. Además, si se tomaba $G/H$ con $H$ no normal en $G$ se encontraría que los cosets no forman un grupo bajo el producto que hemos definido.