El ejemplo clásico de conjunto no mensurable es el descrito por wikipedia . Sin embargo, esta construcción particular depende del axioma de elección; para elegir representantes de $\mathbb{R} /\mathbb{Q}$ .
"Dado que cada elemento interseca [0,1], podemos utilizar el axioma de elección para elegir un conjunto que contenga exactamente un representante de cada elemento de R / Q."
¿Es posible construir un conjunto no mensurable (en $\mathbb{R}$ por ejemplo) sin requerir el A.o.C.?
En los años 60, Bob Solovay construyó un modelo de ZF + el axioma de elección dependiente (DC) + "todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue". DC es una forma débil de elección, suficiente para desarrollar las partes "no patológicas" del análisis real, por ejemplo la aditividad contable de la medida de Lebesgue (que no es demostrable sólo en ZF). La construcción de Solovay comienza suponiendo que existe un modelo de ZFC en el que hay un cardinal inaccesible. Más tarde, Saharon Shelah demostró que el cardinal inaccesible es realmente necesario para este resultado.
Como señalan otras respuestas, sí, hay que elegir. Los ejemplos populares/naturales de modelos de ZF+DC en los que todos los conjuntos de reales son medibles son los modelos de determinismo y el modelo de Solovay. En realidad, están relacionados de manera profunda, a través de grandes cardinales. (Con cardinales suficientemente grandes, $L({\mathbb R})$ de $V$ es un modelo de determinismo y (algo más fuerte que) elementalmente equivalente a un modelo Solovay).
Una cuestión interesante que esto no resuelve, es cuánta elección se requiere para producir un conjunto medible no-Lebesgue. Basta con tener un buen ordenamiento de ${\mathbb R}$ por la construcción de Vitali. Pero esto es demasiado: La existencia de un ultrafiltro no principal en $\omega$ no es suficiente para ordenar bien los reales, pero basta para dar conjuntos no mensurables.
En una dirección ligeramente distinta, Matt Foreman y Friedrich Wehrung demostraron hace un tiempo que también basta con una instancia apropiada del teorema de Hahn-Banach. (Esto se encuentra en " El teorema de Hahn-Banach implica la existencia de un conjunto medible no Lebesgue ", Fund. Math. 138 (1991), nº 1, 13--19). En realidad, Hahn-Banach puede entenderse como un principio de elección por derecho propio. Desgraciadamente, no conozco ninguna referencia al respecto en español, pero véase Xavier Caicedo-Germán Enciso. " El teorema de Hahn-Banach como principio de eleccion ", Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Vol. 28 (106) (2004), 11-20. Por ejemplo, del resumen:
El teorema de Hahn-Banach implica el axioma de elección para familias de conjuntos convexos cerrados en espacios reflexivos y para familias más generales de conjuntos convexos en espacios localmente convexos.
Para añadir a la respuesta sobre cuál es el principio de elección más débil que se requiere: permítanme aprovechar esta oportunidad para mencionar Consecuencias del axioma de elección por Rubin y Howard. Se trata de la forma 93 del libro y no se conocen equivalentes exactos para ella. Existe una extensa tabla de implicación.
Por ejemplo, como se ha señalado, la existencia de un ultrafiltro no trivial en $\omega$ es suficiente, y el BPI (teorema del ideal primo booleano) implica la existencia de dicho ultrafiltro. Según el libro, ninguna de estas implicaciones es reversible.
Otro principio intermedio que menciona el libro es el principio de selección de calcetines (cada familia de pares tiene una función de elección). Esto está implícito en BPI e implica la existencia de un conjunto no medible, y ninguno de ellos es reversible.
Sí, requiere el axioma de elección (y por tanto No, no es posible sin él), en el sentido de que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin elección (ZF) no es suficiente. ZF junto con el Axioma de Determinación (AD) demuestra que no hay subconjuntos no medibles de $\mathbb R$ . Se cree que ZF+AD es consistente (por supuesto esto no es demostrable, por el teorema de Gödel).
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