Bebé Rudin Ex 3.24

Question

Sea $X$ sea un espacio métrico.

(a) Llama a dos secuencias de Cauchy $\left\{ p_n \right\}$ , $\left\{ q_n \right\}$ en $X$ equivalente si $$ \lim_{n \to \infty} d \left( p_n, q_n \right) = 0.$$ Demuestre que se trata de una relación de equivalencia.

(b) Sea $X^*$ sea el conjunto de todas las clases de equivalencia así obtenidas. Si $P \in X^*$ , $Q \in X^*$ , $\left\{ p_n \right\} \in P$ , $\left\{ q_n \right\} \in Q$ define $$ \Delta (P, Q) = \lim_{n \to \infty} d \left( p_n, q_n \right); $$ según el Ejercicio 23, este límite existe. Demuestre que el número $\Delta (P, Q)$ no se modifica si $\left\{ p_n \right\}$ y $\left\{ q_n \right\}$ se sustituyen por secuencias equivalentes y, por tanto, que $\Delta$ es una función de distancia en $X^*$ .

(c) Demostrar que el espacio métrico resultante $X^*$ está completo.

Me refiero al manual de soluciones de Roger Cooke. Las partes (a) y (b) eran bastante fáciles. La solución de (c) no la entendí bien. A continuación se presenta mi argumento hecho de una manera ligeramente diferente :

Sea $(P_k)$ sea una sucesión de Cauchy en $X^*.$ Denote $(p_{kn})_{n\in \mathbb{N}}$ como la sucesión de Cauchy en $X$ representando a $P_k.$

Así, para cualquier $\epsilon >0, \,\exists K_{\epsilon}\in \mathbb{N}$ s.t $$\Delta(P_i,P_j)<\epsilon, \hspace{1cm}\forall i,j\ge K_{\epsilon}.$$

Esto implica que existe $N_{\epsilon}\in \mathbb{N}$ s.t $$d(p_{in},p_{jm})<\epsilon, \hspace{1cm}\forall i,j\ge K_{\epsilon},\forall m,n\ge N_{\epsilon}.$$ Sea $\epsilon_n = 1/n.$ Correspondientemente para cada $\epsilon_n$ obtenemos $K_{\epsilon_n}$ y $N_{\epsilon_n}.$ Elegir subsecuencias $K_n$ y $N_n$ de forma creciente.

Así, si $ i,j\ge K_{n_0}\&\, m,n\ge N_{n_0}$ entonces $$d(p_{in},p_{jm})<\frac{1}{n_0}. $$

Definir una secuencia $(p_n)$ en $X$ tal que $p_n :=p_{K_nN_n}$

Reclamación : $(p_n)$ es Cauchy.

Observamos que para cualquier $\epsilon >0$ existe algún $N_0\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{2}{N_0}<\epsilon$ (Propiedad de Arquímedes). Entonces, si $m>n\ge N_0$ tenemos $K_m>K_n>K_{1/{N_0}}$ y $N_m>N_n>N_{1/{N_0}}$ y así \begin{align} d(p_m,p_n)=d(p_{K_mN_m},p_{K_nN_n})\le d(p_{K_mN_m},p_{K_{N_0}N_{N_0}})+d(p_{K_{N_0}N_{N_0}},p_{K_nN_n})< \frac{1}{N_0}+\frac{1}{N_0} =\frac{2}{N_0}<\epsilon. \end{align}

Así $(p_n)$ es Cauchy.

Sea $P\in X^*$ sea el elemento asociado de esta secuencia.

Reclamación : $(P_k)$ converge a $P.$

Hay que demostrar que para cualquier $\epsilon>0$ existe $K\in \mathbb{N}$ tal que $$\Delta(P_k,P)=\lim_{n\to \infty} d(p_{kn},p_n)<\epsilon,\hspace{0.5cm}\forall k\ge K.$$

Sea $N_0\in \mathbb{N}$ sea tal que $\frac{1}{N_0}<\epsilon.$ Entonces, para cualquier $k\ge K_{N_0}$ y $n\ge N_{N_0}$ tenemos

$$d(p_{kn},p_n)<\frac{1}{N_0}<\epsilon, \hspace{0.5cm} \forall k\ge K_{N_0},n\ge N_{N_0}.$$

Esto implica $$\lim_{n\to \infty} d(p_{kn},p_n)<\epsilon,\hspace{0.5cm}\forall k\ge K_{N_0}$$

es decir, $\forall \epsilon >0,\,\exists K\in \mathbb{N}$ tal que $$\Delta(P_k,P)<\epsilon,\hspace{0.5cm}\forall k\ge K$$

Así $(P_k)$ converge a $P.\hspace{7cm} \blacksquare$

¿Es correcto mi argumento?

Answer 1

Usted afirma lo siguiente:

Esto implica que existe $ N_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ s.t $$ d(p_{in},p_{jm})<\epsilon, \hspace{1cm}\forall i,j\ge K_{\epsilon},\forall m,n\ge N_{\epsilon}. $$

Es cierto que para cada par individual de índices $i,j$ (y las secuencias correspondientes) existe un $N_\epsilon$ pero, ¿cuál es el razonamiento que subyace a la afirmación de que existe un $N_\epsilon$ que puede aplicarse a cada par de secuencias para las que $i,j \ge K_\epsilon$ ¿Sostiene? Si sólo hubiera un número finito de tales secuencias, se podría tomar el máximo de todos los pares individuales $N_\epsilon$ y utilizarlo. Pero en este caso hay un número infinito (contable) de secuencias, por lo que tomar el máximo no funciona (el máximo podría incluso no existir).

Por ejemplo, se podrían construir secuencias reales tales que $$ p_{kn} = \begin{cases} 1, & \text{if } n \lt k \\\\ 2^{-n+k}, & \text{otherwise} \end{cases} $$

Ahora la secuencia $p_{1n}$ comenzaría con $1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ...$ , $p_{2n}$ comenzaría con $1, 1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ...$ , $p_{3n}$ comenzaría con $1, 1, 1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ...$ etc. Así secuencias $(p_{kn})$ tendría una cantidad creciente de unos principales, pero aún así cada secuencia convergería a $0$ . Por tanto, también son sucesiones de Cauchy y si se consideran las clases de equivalencia del ejercicio 3.24 de Rudin, estas sucesiones pertenecerían incluso a la misma clase de equivalencia. Ahora para cada $\epsilon > 0$ y en cada par de secuencias se puede encontrar el $N_\epsilon$ tal que $n,m \ge N_\epsilon$ implica $d(p_{in},p_{jm}) < \epsilon$ . Pero sigue sin encontrar ningún $N_\epsilon$ ¡que implicaría la misma desigualdad con cada secuencia! (Esto es fácil de ver por contradicción: Basta con tomar un épsilon menor que uno (digamos $1/2$ por ejemplo) y supongamos que $N_\epsilon$ existe. Entonces siempre puedes elegir una secuencia $(p_{kn})$ donde $k > N_\epsilon$ y podrás encontrar la contradicción).