En el libro de O'Neill Semi-Riemannian Geometry, llama a una forma bilineal simétrica sobre un espacio vectorial $V$ no degenerado si $\forall v \in V, v \ne 0 \implies \exists w \in V, \langle v,w \rangle \ne 0$ . A continuación define lo siguiente:
A tensor métrico $g$ en un colector liso $M$ es una simétrica no degenerada $(0,2)$ campo tensorial en $M$ de índice constante.
Aquí está llamando a un campo tensorial no degenerado. A $(0,2)$ puede considerarse como una forma bilineal en el módulo de campos vectoriales sobre funciones suaves, por lo que podemos obtener una noción de no degeneración simplemente tomando la definición original y generalizándola a los módulos. En particular, diríamos que una simétrica $(0,2)$ campo tensorial $T$ es no degenerado si (denotando el anillo de funciones suaves sobre una variedad $M$ por $F(M)$ ): $$\forall f \in F(M), f \ne 0 \implies \exists g \in F(M), T(f,g) \ne 0.$$
Desafortunadamente esto no induce una forma bilineal no degenerada en cada $p \in M$ .
Podemos ver esto considerando la $(0,2)$ campo tensorial en $\mathbb{R}$ definido puntualmente como $g(p) = p^2 dx \otimes dx$ . Entonces la forma bilineal inducida en $T_0\mathbb R$ es claramente degenerada, pero $g$ es no degenerado.
Por lo tanto, ¿debemos decir que una simétrica $(0,2)$ es no degenerado según la definición anterior, o si induce una forma bilineal no degenerada en cada $p \in M$ ? Para un tensor métrico, creo que debería ser lo segundo, aunque parece que lo primero es más correcto (uniforme en notación).
