Tengo dos unital $C^*$ álgebras $A$ y $B$ . Sea $X\subset A$ y $Y\subset B$ sea tal que span $X$ y span $Y$ son subálgebras densas * de $A$ y $B$ respectivamente. Tengo un mapa $\Psi: Span ~X \to Span ~Y$ que es un *-homorfismo. También tengo un mapa $\Phi: Span ~Y \to Span ~X $ tal que $\Phi\circ \Psi=id$ . ¿Puedo concluir que $\Psi$ se extiende a un isomorfismo entre $A$ y $B$ ?
Respuesta
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No, porque $\Psi$ puede no ser una contracción. Sea $A=B=C[0,2]$ y $X=\mathbb C[x]$ , $Y=\mathbb C[x^3]$ . Ambos son densos por Stone-Weierstrass. Sea $\Psi:X\to Y$ viene dada por $(\Psi f)(x)=f(x^3)$ . Entonces $\Psi$ es un invertible $*$ -isomorfismo. Y, con $f(x)=x^n$ , $$\frac{\|\Psi f\|}{\|f\|}=\frac{2^{3n}}{2^n}=4^n.$$ Así que $\Psi$ no tiene límites.
