Halla la forma cerrada de la siguiente suma

Question

Me gustaría encontrar la forma cerrada de la suma:

$f(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{(-1)^k}{(z+k)^2}$

La pregunta en primer lugar me pide que demuestre que $f$ es holomorfa en $\mathbb{C} \backslash \mathbb{Z}$ y tiene periodo $2$ . He probado y esto puede ser útil.

He intentado diferenciar e integrar cada término pero no consigo construir una igualdad entre la nueva suma y $f$ .

He encontrado la solución pero no la entiendo. Dice $f=-g'$ donde $g$ tiene polos simples con residuo $(-1)^k$ . Entonces $g=\pi/sin(\pi x)$ pero no entiendo por qué.

Answer 1

$$S(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{(-1)^k}{(z+k)^2}$$ Considere la función $g(z)=\frac{\pi}{\sin\pi x}\frac{1}{(z+x)^2}$ e integral en el plano complejo a lo largo de un gran círculo de radio $R$ en el sentido de las agujas del reloj. Se puede demostrar que esta integral $\to0$ como $R\to\infty$ (porque $|g(x)|\to0$ como $\sim\frac{1}{R^2}$ ). Tenemos polos simples en $x=\pi k$ ( $k$ - integres) y un polo de segundo orden en $x=-z$ .

Por lo tanto, $$0=\oint_{C_R}=2\pi i \sum Res\,\, g(x)=2\pi i \sum_{k=-\infty}^\infty Res \frac{\pi}{\sin\pi x}\frac{1}{(z+x)^2}|_{z=k}+2\pi i Res\frac{\pi}{\sin\pi x}\frac{1}{(z+x)^2}|_{x=-z}\Rightarrow$$ $$\sum_{k=-\infty}^\infty Res \frac{\pi}{\sin\pi x}\frac{1}{(z+x)^2}|_{z=k}=S(z)=-Res\frac{\pi}{\sin\pi x}\frac{1}{(z+x)^2}|_{x=-z}=-\frac{d}{dx} \Bigl(\frac{\pi}{\sin\pi x}\Bigr)|_{x=-z}$$ $$S(z)=\pi^2\frac{\cos\pi z}{\sin^2\pi z}$$