Sea $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ sean vectores con $|\vec{a}|=4,|\vec{b}|=12, |\vec{c}|=3 $ . Tengo que demostrarlo: $$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\neq\vec{0} $$ Alguna idea al respecto.
Respuesta
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Supongamos que $a+b+c=0$ hace y lo demostraremos por contradicción. Entonces movemos uno de los vectores al otro lado, digamos $c$ :
$$a+b=-c$$
A continuación, escuadra ambos lados. El lado izquierdo es $$(a+b)\cdot (a+b) = |a|^2 + |b|^2+2a\cdot b = |a|^2+|b|^2+2|a||b|\cos(\theta) = 160+96\cos(\theta)$$
En el lado derecho, obtenemos $$(-c)\cdot(-c) = |-c|^2 = |c|^2 = 9$$
Entonces tenemos $$160+96\cos(\theta) = 9 \\ \cos(\theta)=\frac{-151}{96} \lt -1$$
Pero $\cos(\theta)$ nunca es inferior a $-1$ . Contradicción. Así $a+b+c\ne 0$ .
Edición: En lugar de utilizar el producto interior podríamos utilizar la desigualdad del triángulo.
Así que tenemos $a+b+c=0$ . Esta vez vamos a mover el $b$ al otro lado. Obtenemos $a+c=-b$ . Tomar la norma de ambos lados para obtener $|a+c|=|-b|=|b|$ . Entonces por la desigualdad del triángulo tenemos $|a+c|\le |a|+|c|=7$ . Pero $|a+c|=|b|=12\gt 7$ . Contradicción. Así $a+b+c\ne 0$ .
