Producto en subcategoría

Question

Probablemente sea una pregunta trivial. Pero no veo la respuesta (y no he encontrado en ninguna parte).

Dada una categoría (completa y cocompleta) X y un objeto A de X, podemos definir la "subcategoría" A/X. Véase http://ncatlab.org/nlab/show/under+categoría

Ya he notado que el coproducto de un conjunto {i_l: A a X} es la "inyección natural" de A en el colímite del diagrama obvio definido por el conjunto.

Intento entender cómo es el producto en A/X, en términos de colímites, límites, productos o coproductos de X.

Agradezco cualquier ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Para una familia de objetos $A \to B_i$ en $A/X$ su coproducto suele denominarse pushout de los morfismos $A \to B_i$ en $C$ . Representa el functor $X \to \mathrm{Set}$ que asigna $P$ al conjunto de familias de morfismos $B_i \to P$ que "coinciden" en $A$ . Empujones en $X$ puede construirse mediante coproductos y coigualadores en $X$ . La idea es tomar $\coprod_i B_i$ y luego identificar $A \to B_i$ con $A \to B_j$ .

Los productos en $A/X$ son más fáciles: el functor olvidadizo $A/X \to X$ los conserva (también los crea). Esto significa que para una familia de objetos $f_i : A \to B_i$ el producto viene dado por $f : A \to \prod_i B_i$ donde $f$ se define por $\mathrm{pr}_i f = f_i$ .

Answer 2

He aquí otra perspectiva: la subcategoría $A \downarrow \mathcal{X}$ es la categoría de álgebras (categoría de Eilenberg-Moore) para la mónada cuyo functor subyacente toma un objeto $X$ a $A \sqcup X$ . (La unidad de la mónada es la inclusión coproducto $X \hookrightarrow A \sqcup X$ ; la multiplicación es $\nabla_A \sqcup X: A \sqcup A \sqcup X \to A \sqcup X$ .) Entonces podemos simplemente citar el resultado de que un functor monádico

$$Alg_M \to \mathcal{X}$$

conserva y refleja los límites, y en particular los productos.