Caracterizar las unidades en series formales de potencias $R[[x]]$

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo con unidad. Definamos $R[[x]]$ como "serie de potencias formal en la variable $x$ con coeficientes de $R$ ". Son las sumas infinitas de la forma $ \sum_{n=0}^\infty a_ix^i, a_i\in R. $ ¿Hay alguna forma de caracterizar todas las unidades de este anillo $R[[x]]$ ?

Answer 1

Las unidades de $R[[x]]$ son exactamente las series de potencias formales cuyo término constante corresponde a unidades de $R$ . Una forma de demostrar esto es considerar truncamientos de la serie de potencias y mostrar que como $\deg(p(x))$ aumenta, con el tiempo se puede encontrar un $q(x))$ del mismo grado tal que todos los términos de $p(x)q(x)$ menos de $K$ y observe que los términos constantes son $0$ . De este modo, los términos distintos de cero son "expulsados" de la serie de potencias y nos dejan con el producto de los términos constantes. Otra forma de ver esto es observar que se puede encontrar un $q$ tal que $p(x)q(x)-p_0q_0$ tiene una raíz en cada elemento del anillo. Una vez hecho esto, es sencillo ver que este producto puede ser $1$ si $p_0$ es una unidad.