$\mathbb{Q}\left(\sqrt{p}\right)=\{a+b\sqrt{p}\mid a, b \in\mathbb{Q}\}$ es un subcampo del campo $\mathbb{R}$

Question

Demostrar que $\mathbb{Q}\left(\sqrt{p}\right)=\{a+b\sqrt{p}\mid a, b \in\mathbb{Q}\}$ es un subcampo del campo $\mathbb{R}$ donde $p$ es un número primo

Sé que esto es cierto para muchos primos que he probado, pero no sé cómo demostrar que esto es cierto en general para todos los primos.

Por los comentarios deduzco que así es como hay que demostrarlo.

Prueba:

1) $0+0\sqrt{p}\in\mathbb{Q(\sqrt{p}})$

2) $a+b\sqrt{p}+ c+d\sqrt{p}=a+c+(b+d)\sqrt{p}\in\mathbb{Q(\sqrt{p}}$

3) $(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=ac+(ad+bc)\sqrt{p}+bdp\in\mathbb{Q}(\sqrt{p})$

4) $-(a+b\sqrt{p})=-a+(-b)\sqrt{p}\in\mathbb{Q}(\sqrt{p})$

5) $(a+b\sqrt{p})^{-1}=(a/a^2-pb^2)+(-b/a^2-pb^2)\sqrt{p}\in\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ )

Verificado que se trata de un subcampo de $\mathbb{R}$ , ahora mi pregunta es ¿dónde $p$ ¿entra en juego una prima?

Answer 1

Probemos. Para la prueba del subcampo tenemos que comprobar que dado $a, b \in S$ un subconjunto de un campo $F$ entonces sostiene que: $$a - b \in S$$ $$ ab^{-1} \in S.$$ Con un simple cálculo, esta afirmación es válida. Por supuesto, es un subcampo de $\mathbb{R}$ .