Mostrar $\gamma(t)\leq 0$ para casi todos $t$ con $\max_{u\leq t} \int_u^t \gamma \,\mathrm d\lambda = 0$

Question

Dada una función localmente integrable $\gamma: \mathbb R_{\geq0}\rightarrow \mathbb R$ definimos el absolutamente continua función $\Gamma(t) := \max_{u\leq t} \int_u^t \gamma \,\mathrm d\lambda$ .

Quiero demostrar que $\gamma(t)\leq 0$ es válida para casi todos los $t$ con $\Gamma(t)=0$ . En otras palabras, quiero demostrar que el conjunto $$A := \left\{ t\in\mathbb R_{\geq 0} \,\middle\vert\, \Gamma(t) = 0 ~\text{and}~ \gamma(t) > 0 \right\}$$ es un conjunto nulo de Lebesgue, es decir $\lambda(A)= 0$ .

Todos mis intentos han fracasado. Sin embargo, he sido capaz de demostrar, que si $\Gamma$ desaparece en un intervalo (propio) $[a,b]$ con $a < b$ entonces $\lambda(A\cap [a,b]) = 0$ . Esto, sin embargo, no conduce a una prueba de la afirmación más general $\lambda(A)=0$ .

Answer 1

Sea $B$ sea el siguiente conjunto medible. $$\begin{equation*} B = \left\{t \in (0,\infty) \, \mid \, \lim_{u \to t^{-}} \frac{1}{t - u} \int_{u}^{t} \gamma(s) \, ds = \gamma(t)\right\}. \end{equation*}$$ Por el teorema de la diferenciación, $\mathbb{R}_{\geq 0} \setminus B$ es un conjunto nulo de Lebesgue. Le dejo a usted que demuestre que $\Gamma > 0$ se cumple en el conjunto medible $B \cap \{\gamma > 0\}$ . Por lo tanto $\Gamma > 0$ tiene Lebesgue en casi todas partes en $\{\gamma > 0\}$ o $\{\Gamma = 0, \, \, \gamma > 0\}$ es nulo de Lebesgue.

Answer 2

Primero definimos dos conjuntos medibles: $$B:=\left\{t \in \mathbb R_{\geq0} \,\middle\vert\, x\mapsto\int_0^x \gamma\,\mathrm d\lambda \text{ is differentiable in $ t $ with derivative $ \gamma(t) $} \right\}$$ $$C:= \left\{t \in \mathbb R_{\geq0} \,\middle\vert\, \text{$ \Gamma $ is differentiable in $ t $ with $ \Gamma'(t)= \begin{cases} \gamma(t), &\text{for $\Gamma(t) > 0$,}\\ 0, &\text{otherwise.} \end{cases}$} \right\}$$ Por Teorema de la diferenciación de Lebesgue sabemos que $\lambda(B^c) = 0$ . Por la prueba en esta respuesta también tenemos $\lambda(C^c) = 0$ .

Ahora dejemos que $t\in B\cap C$ con $\Gamma(t) = 0$ . Entonces tenemos $$\left. \frac{\,\mathrm d}{\,\mathrm d x} \int_t^x \gamma\,\mathrm d\lambda \,\right\vert_{x=t} = \left. \frac{\,\mathrm d}{\,\mathrm d x} \int_0^x \gamma\,\mathrm d\lambda - \int_0^t \gamma\,\mathrm d\lambda \,\right\vert_{x=t} = \gamma(t)$$ y por tanto se cumple que $$0 = \Gamma'(t) = \lim_{x\,\searrow\, t} \frac{\Gamma(x) - \Gamma(t)}{x-t} = \lim_{x\,\searrow\, t} \frac{\Gamma(x) - \int_t^t \gamma\,\mathrm d\lambda}{x-t} \geq \lim_{x\,\searrow\, t} \frac{\int_t^x \gamma \,\mathrm d\lambda - \int_t^t \gamma \,\mathrm d\lambda}{x-t} = \left. \frac{\,\mathrm d}{\,\mathrm d x} \int_t^x \gamma\,\mathrm d\lambda \,\right\vert_{x=t} = \gamma(t).$$

Es decir $A\cap B \cap C = \emptyset$ y así $A\subseteq (B\cap C)^c$ . Además, tenemos $$\lambda(A) \leq \lambda((B \cap C)^c) = \lambda(B^c \cup C^c) \leq \lambda(B^c) + \lambda(C^c) = 0$$