Distribución condicional de los aciertos en los m primeros ensayos Bernoulli independientes dado el número total de aciertos

Question

Este es mi intento:

Hasta ahora he dejado

$$Y_{mi} = \begin{cases} 1\ & \text {if }i^\text{th } \text{trial in first }m\text{ trials}\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$$

En efecto, $$Y_m = \sum_{i=1}^mY_{mi}$$

Creo que esto es lo que tengo que calcular:

$$P(Y_{mi} =1 | X=x) = \frac{P(Y_{mi} =1, X=x)}{P(X=x)}$$

¡Estoy luchando para ir de aquí y cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

Sea $Z_{n-m}$ el número de aciertos en el resto de $n-m$ ensayos

$P(Y_m=y|X=x) = ...$ (usted rellena esta parte) $... = \frac{P(Y_m=y)P(Z_{n-m}=x-y)}{P(X=x)} =...$

A partir de ahí es simplemente mecánico, y va a la (por otra parte obvia) solución hipergeométrica.