Interpolación en superficies reales de Riemann

Question

Antecedentes: Generalización de la noción de semiplano superior a superficies de Riemann compactas:

Supongamos que $p(x,y) \in \mathbb{R}[x,y]$ es un polinomio en 2 variables con coeficientes reales, que define una curva algebraica plana compleja suave $C_0 = \{(x,y) \in \mathbb{C}^2:p(x,y)=0\}$ . Sea $C$ sea el cierre proyectivo de $C_0$ sur $P^2\mathbb{C}$ y supongamos que $C$ también es suave. Dado que $C$ se define sobre los números reales, viene equipada con una involución $\sigma:C\rightarrow C$ , $\sigma(x,y) = (\overline{x},\overline{y})$ . Denotemos por $X$ la superficie compacta de Riemann asociada a $C$ y que $X_\mathbb{R}$ sea el conjunto de puntos fijos de $\sigma$ .

Si el espacio $X - X_\mathbb{R}$ tiene exactamente dos componentes conectadas, entonces $X$ se denomina superficie de Riemann real compacta de tipo divisor, y las dos componentes conectadas se denotan por $X_+$ y $X_{-}$ (la decisión entre "el semiplano positivo" y "el semiplano negativo" de forma arbitraria).

Y por último, a la pregunta:

Me dan una superficie de Riemann real compacta de tipo divisor $X$ e interesado en problemas de interpolación de funciones meromorfas con condiciones como "todos los polos de $f$ se encuentran en el plano medio superior". ¿Alguien conoce algún trabajo anterior en este ámbito? ¿Alguna técnica conocida para relacionar estas construcciones topológicas y algebraicas?

Answer 1

Permítanme dar una versión de la pregunta en el comentario:

Sea $X$ sea una curva de género $g$ con una involución separadora real, y conisder el mapa $Sym^n(X_+)\to Jac^n(X)$ .

Por qué $n$ ¿es este mapa suryectivo? O, en otras palabras, ¿cuál es el número mínimo de polos de una función meromorfa con polos en $X_+$ que garantiza que los ceros pueden ocurrir en cualquier colección de puntos?

Me parece una pregunta muy bonita. En el caso $g=1$ siempre puedes tomar $n=2$ . También para cualquier $g$ deberías tomar $n>g$ porque $Sym^g(X)$ mapas a $Jac^g(X)$ con grado $1$ .

Añadido. La notación $Sym^n(X)$ significa la potencia simétrica de $X$ . Permítanme explicar también por qué lo anterior es una reformulación de la pregunta original. En efecto, un divisor $\sum_i x_i-\sum_i y_i$ en $X$ es divisor de una función meromorfa si representa cero en $Jac^0(X)$ . Así que si queremos elegir arbitrariamente ceros $x_i$ de una función meromórfica $f$ mantener los polos $y_i$ sur $X_+$ es suficiente saber que $\sum_i y_i$ puede tomar cualquier valor en $Jac^n(X)$ (para anular el punto $\sum_i x_i$ ). Esta es exactamente la condición que $Sym^n(X_+)\to Jac^n(X)$ es suryectiva.