Representación de espacio de estados del filtro gammachirp

Question

Sea $h$ la respuesta al impulso del filtro gammachirp:

$$ h(t) = \exp(c_1 + c_2 t + c_3 \ln t) \cos(c_4 + c_5 t + c_6 \ln t) $$

La salida $y$ del filtro se da por la convolución de la entrada $x$ y $h$:

$$ y = x \ast h $$

¿Cuál es la representación en espacio de estado de este filtro?

Answer 1

La respuesta al impulso de un sistema LTI con un espacio de estados de dimensión finita se puede calcular con,

$$ h(t) = \left\{\begin{array}{l l} C\, e^{A\, t} B + D\, \delta(t) & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{array} \right. $$

lo cual siempre debe consistir en una suma finita de exponenciales (potencialmente pares conjugados complejos y/o multiplicados por polinomios cuando $A$ tenga bloques de Jordan de tamaño mayor que uno).

Cuando $c_3$ y $c_6$ no son cero, entonces la respuesta al impulso que proporcionaste no se puede escribir como una suma finita de dichos términos. Por lo tanto, no hay un modelo de espacio de estados, con un espacio de estados de tamaño finito, que se comporte exactamente como ese filtro.

Answer 2

Una representación en el espacio de estados puede indicar un sistema LTI, LTV o no lineal. Como dijo @fibonatic, tu sistema seguramente no tiene una representación en el espacio de estados LTI. Supongamos que el sistema se describe en forma de s-s como: $$\begin{align}\dot{x}&=f(x,t)+u\\y&=x\end{align}$$ Entonces podemos escribir $$\begin{align}\dot{h}&=f(h,t)+\delta(t)\\ &=\left\{\left(c_2+\frac{c_3}t\right)-\left(c_5+\frac{c_6}t\right)\tan(c_4 + c_5 t + c_6 \ln t)\right\}h(t)\\&\stackrel{\Delta}= g(t)h(t)\end{align}$$ Esto podría darnos la idea de que podemos escribir $f(x,t)$ como $$f\left(x,t\right)=g(t)x-\delta(t)$$ pero como ves, este $f$ dependerá de la entrada, lo que contradice nuestra suposición inicial de que $f(x,t)$ es independiente de $u$. Por lo tanto, no puede haber ninguna representación de espacio de estados afín de este filtro.