En el libro que estoy leyendo sobre cuaterniones, las propiedades de las operaciones con valores imaginarios $i,j,k$ se comparan con las propiedades del producto cruzado de vectores cartesianos $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ . Ej. $$ij=k\\\mathbf{i} \times \mathbf{j}=\mathbf{k}.$$ Entonces tenemos $$\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}\\ \mathbf{i}\times\mathbf{k}=\mathbf{-j}.$$ Y luego el autor supone que estos vectores obedecen a axiomas distributivos y asocativos para demostrar sus propiedades imaginarias: $$\mathbf{iij}=\mathbf{ik}=\mathbf{-j} \\ \mathbf{ii}=\mathbf{i}^2=-1$$ Pero lo que no entiendo es por qué estos vectores obedecerían al axioma asociativo, ya que $\mathbf{i}\mathbf{i}\mathbf{j}$ siguen siendo productos cruzados, o al menos eso supongo. ¿Y qué pasa con $\mathbf{i}\times\mathbf{i}=0$ ? ¿Significa esto que en realidad no son vectores cartesianos? Supongo que me faltan algunos puntos clave en esta explicación...
Respuestas
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Los cuaterniones sólo tienen 4 letras para escribir (1,i,j,k), así que puedes comprobar a mano que la multiplicación es asiativa.
Sin embargo, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa.
El problema con 3 dimensiones, 5 dimensiones, 7 dimensiones etc es que no hay manera de definir una estructura de campo en 3/5/7/9...etc espacio real dimensional, incluso si no requerimos conmutavitity. En 1 dimensión tenemos la estructura de campo natural, en 2 dimensiones la única estructura de campo posible son los números complejos. En 4/6/8/10...etc dimensiones, podemos definir estructura de campo pero solo no conmutativa. Cuando dim=4, estos son cuaterniones.
No es cierto que i*i=0, no entiendo lo que quieres decir.
Confundes el producto cruzado con el producto cuaternión. La notación $i \times j = k$ se refiere al producto cruzado, mientras que la notación $i j = k$ se refiere al producto cuaternión (puro). Permítanme explicar esto último:
Multiplicación de dos cuaterniones puros $A$ y $B$ puede escribirse en forma vectorial como
$$A B = - A \cdot B + A \times B$$
Donde interviene un producto punto y un producto cruz. Puedes comprobarlo calculando $A B$ utilizando las reglas de multiplicación de cuaterniones y agrupando términos.
Utilizando ese producto puede comprobar que $i i = -1$ y que $i k = -j$ y también que es asociativo es asociativo como $i i j = -j$
